Première Partie. Livre III
Mais puisqu'on a :
c; = A,e + B,rj' + ne = o,
la formule précédente change en celle-ci:
ce qui n'est pas autre chose (|ue notre formule (46). Ou s'aperçoit facilement qu'elle peut aussi être mise sous la forme suivante:
d'où l'on tire, en la comparant avec l'équation (16), la relation que voici:
Ayant obtenu ces résultats, nous allons mettre en évidence les équations
ai2 3/^ a<2
^'il; + ^^' ^ + ^^ ^
dr; 3f, ' '3);, ' 3Ci
a^ 3fi ' ' 3)j, ■
^ac;
qui découlent immédiatement des équations (47)- H eu résulte, après quelques réductions faciles, l'équation
dL>
dii
d'où l'on tire, en introduisant les valeurs de 7", i^, et 1\, en faisant Ci' égal à zéro et en considérant la seconde des équations (11) ainsi que l'équation (45'), la formule
— = — cos J — . — r sm J cos Iv — 2 ) -^ ,
348 Traité des Orbites des Plauètes.
ou bien celle-ci:
— = — cos -/ — , — sin J sin u; — 2 cos ( (; — 2 -r- • Par un calcul tout à fait semblable, on obtient l'équation analogue:
~, = — cos J sin J cos (u — 2 ) siu (y; — 2 -p •
En ajoutant, à cette équation, l'équation précédente, il viendra:
-{ ; = — 2 Sin - -y Sin (v + v — 2 — 2 ) -^ ,
dv dv 2 ^ ' ^aii
ce qui est notre équation cherchée. Mais il convient de la mettre sous
une forme un peu différente, en remplaçant le coefficient de ^ par sou
expression en i , i', 9 et S'.
Dans ce but, rappelons-nous l'identité
et nous obtiendrons, en vertu des formules (21) du n° 53, l'équation
— 2 sin ; J' sin {v + "' — - — -") 3 i sin i' — - sin ?'^( 1 + f) + - sin î''(i + f)
— ' sin ;' sin i'\ i + f)( i -f f) I cos (e — 6') i sin (v + v' — 9 — 9') 4 J I
-+- %inr-'(i +£)-- %ini"(i -f f) j sin (e — 9') cos(v + v' — 9 — 6').
Ensuite, en considérant les égalités
sin (v + v' — 9 — 9') cos (9 — 9') — cos (v -|- v' — 9 — 9') sin (9 — 9') = sin (v — 9) cos (v' — 9) + cos (v — 9) sin (v' — 9),
sin (v + v' — ^6 — 9') cos (9 — 9') + cos (v + v' — 9 — 9') sin (9 — 9') = sin (v — 9') cos (v' — 9') + cos (v — 9') sin (v' — 9'),
ainsi que les forniuU's
-~ = sin t cos V — 9 ; — . = sui t cos v — 9 ,
on parviendra aux résultats que voici:
• I ,■! • , , ». ï., 2h , ah — 2 sin - ./' siu {/; + z; — 2 — 2 1= r .
On s'apperçoit facilement de la vérité du résultat indique en observant les expressions
— - sin i'\ I -}- f) cos (v — 9') sin (v' — 6')
+ - sin /'^ sini'^(i + f)(i +f')cos(9 — e') cos (v — 9)sin{v' — 9'),
^- = 3 ^J- — 3 sin i\ I + f) sin (v — 9) cos (v' — 6)
— - sin l' '\ I + f'} sin (v — 9') cos (v' — G')
+ - sinT sini'^(i + f)(i +f')cos(G — 9') sin (v — 9) cos (v' — 9'),
dont la première a déjà été signalée plus haut. En formant la somme de ces expressions, on retrouvera le résultat que nous venons de déduire relativement à — 2 sin ^ J^ sin ((; + ;/ — 2' — 2"). Ou est donc parvenu à la relation
dL' d<J dii /ah ah v52j 3y "T 2^' — 21^ y^^^ -t- 2^,
Mais cette relation s'obtenant encore d'une manière directe, savoir en introduisant l'identité
a cos (v — v) a cos (v V )
dans l'équation
S.'<> dû diJ (s cos H d cos H
av 3v 3 cos Zï 3v av
on s'çst procuré une vérification utile, soit de nos calculs, soit de la conséquence de nos notations.
En différentiant, par rapport à 9 et à 9', la fonction h, on aura les expressions
a"^ "= ~ »' ^ + ^ ^'" ''(' + ^) '^^^ (^ ~ ®) *'" ^''' "~ ®) + - sin i'(i + f) sin (v — 9) cos (v' — 9)
sin j^sinï'^(i + f)(i + f) cos (9 — 9')cos(v — 9) sin (v' — 9')
sin i'' sin i' \\ + f j( i + f') sin (9 — 9') sin (v — 6) sin (v' — 9'),
Sh
= — 5 —, + ^- sin i'\ I + f) cos (v — 9') sin (v' — 9') + - sin i' ^( I + f ') sin (v — 9') cos (v' — 9')
sin;''siu/'^(i +£)(i +f')cos(9 — 9') sin (v — 9) cos (v' — 9')
+ - sin ;^ sin i\ i + f)( i + f) sin (9 — 9') sin (v — 9) sin (v' — 9');
et maintenant, si l'on établit la somme des quatre dérivées partielles que nous venons de mettre en évidence, on obtiendra:
ah , ah , ah , ah av av ' a9 a9
Au lieu de l'équation (52), on peut donc employer la suivante:
a.y d<J __ diJ diJ ^^^^ av "*" av' ~ a9 a9' '
qui permet une application très aisée.
