Première Partie. Livre III

Maintenant, si l'on attril)ue à i — ^ <^t à ;/ leurs plus grandes valeurs, il sera visible qu'on développe: dans le premier cas, suivant les puissances d'une quantité dont la valeur maxima est i — Oj, et dans l'autre, suivant

les puissances d'une quantité qui prend tout au plus la valeur — '— (i — «?.,).

l\int que â.^ est considérable à côté de^;^^, la seconde manière de développer l'emporte sur la première, ce qu'on voit immédiatement. Cela établi, je fais encore :

en sorte que j'aurai:

(4) x=^-i^+-){'rij

^ ip—p){^ + p + p) / 1 + p'\ ' (1+^)^ \^+p''

En supposant toujours /; et p' moindres que l'unité, la fonction j ainsi que ses puissances se développent suivant celles de p , p' et o-. Mais avant d'entrer dans le détail de ces développements, j'introduis la fonction ^ dans l'expression signalée de 0,^ . Il viendra de la sorte:

" ,/ v'' — "' '^'D f' + ^^y, ^iu f'^

En admettant ensuite les notations

(s) /5;;' = ^ ' sinç^^'v?^

j I — «^ sin f"^

on obtiendra, en développant la formule précédente, l'expression

(7) c;/' ^ ri-" - r\-x + r^"/' - ■ • • •

360 Traité des Orbites des Planètes.

Supposons maintenant, que nous ayons obtenu un résultat de la forme

/ étant un entier, et les Ls'', des l'onctions des indices et de la fonction 0-; supposons ensuite que l'expression de C^,'' soit mise sous la forme

(8) Q" = rrc'3/>v'^

alors nous aurons généralement:

(9) (^^ = -r^''i^} + )'ri^--..,

et en particulier:

(^'\ fi,i .^1,1 ,.1," rd) i „i," r(2)

[9 ) "^0,0 — To h ^0,0 + Ti ^o,a — ■ • • •

75. Les fonctions i^'^. que nous venons d'introduire sont des polynômes finis en a que nous pouvons nous figurer ordonnés suivant les puissances de cette quantité. En admettant les développements

L 0 + pf J ^ /' + p'\'r.(/'— /"'x^ + p + p

vt +/>/ L (I +pr J

P fj

etc., on aura facilement l'expression générale que voici :

(i i) L% = K^;^ + Ki;> + K:;;.^' + . . . .

Il s'agit maintenant d'évaluer les coefficients K^'-^ qui ne dépendent que des entiers / , .9 , s et s', et qui sont eux-mêmes des entiers. On les obtient en développant les formules précédentes, mais on les déduit plus aisément en considérant l'expression

if , n/''+/'\', -'■(•'•—0/ , \V+/0'

Eu effet, kl manière la plus simple de mettre eu évidence les coefficients dont il s'agit paraît être celle-ci:

Soit, eu désignant par h un nombre entier,

^)"^ YTKifV^

alors les coefficients sont exprimés moyennant la formule

si s est plus grand que s', mais dans le cas opposé, par celle-ci:

Si les deux indices s et s' sont égaux, les deux formules coïncident, en sorte qu'on aura:

Après avoir fixé ces notations, on obtient:

K''" = — ' R<'), 4- 'iiilzJj R(2) ■i(t- i)a-^ ^:>(.„ ,

etc., avec la seide exception

Ko == ^ — , + , -, — . . . = O,

formules qui permettent de calculer, d'une manière assez simple, les coeft'icients dont il s'agit.

Traité des orlntes ahuolurs, 4Q

;;î(32 Tiaitr des Orbites des Planètes.

De la sorte, ou a obtenu les nombres suivants qui suffisent si l'on s'arrête aux termes du septième degré, inclusivement, par rapport aux fonctions diastématiques :

Ki:;; = - 3,

Kl:: = 4,

-tri.o 2

Kl:: =