Première Partie. I;ivre IFI

soient convergents jiour tcnijoiirs; il suffit qu'ils soient convergents pendant un interviiUe limité de temps, disons pendant ([uelcpies dizaines de siècles.

74. i^ar l'hypothèse que nous venons d'établir, les développements fondamentau.x pourront être ini.s sous la forme générale

(■) (î)"'-(7)"^:"' + =U7)"Vco.//

où les coefficients CJ,"" signifient des fonctions du i-apport (

Considérons d'abord le cas oii m ^= i, et admettons la notation

En vertu d'un théorème bien connu, on aura sur le champ l'expression que voici :

Cl" = -

Evidemment, on pourrait développer cette fonction suivant les puissances de a*, et le résultat obtenu de la sorte serait, on le voit facilement, convergent, mais la convergence dont jouirait ce développement ne serait pas, toujours, suffisamment rapide. On s'aperçoit, en outre, que la méthode qui serait mise en usage, en abordant les développements de la manière indiquée, ne différerait pas, quant à son principe, des méthodes de Hansen et de Backlund.

Pour rendre plus rapide la convergence de notre développement fondamental, je l'opère suivant les puissances d'une quantité j, déterminée par l'expression

358 Traité des Orbites des Planètes,

ou bien par celle-ci :

Il est visible que la fonction ^ prend sa plus grande valeur positive lorsque p est égal à y] et />', à — r/. En désignant cette valeur par ;^, , on trouvera:

^{V + V)(2 + r, -yj) ^1 (I + yjy

^ ^-(71 + T,) (y; + Tj'Y

Egalement, la plus grande valeur négative de ^ sera obtenue eu mettant p égal à — jy et p' , à r/ . La désignant par — )(^, on aura:

^(? + y") , (y + 'yT

En considérant que les fonctions diastématiques tj et r/ ont toujours des valeurs positives, on voit que les valeurs de j(^ sont toujours plus grandes que celles de j(^, exception toutefois faite du cas oii r/ est égal à zéro.

Comparons encore les deux modes de développer les fonctions C*„'':

ou suivant les puissances de o(^(i + /), ou suivant celles de -,j( .

Par la supposition que - soit constamment moindre que l'unité, la quantité, â.^, déterminée moyennant l'équation

est nécessairement positive et moindre que l'unité. On en tire :