Première Partie. Livre III
Km = 2688,
Kglî = 4480,
Ki;° = 896, ==
J^iilô = 60,
^li = 14, Kl'}, = 36,
K^;! = 68, Kî;^ = - 44,
Kf;J = 43^
Ku==-32, Kl;. ,46,
Kp} = 96,
Traité des Orbites des Planètes.
Kt:i
Kl;>
TJ-4,1
Tr4.i
TJ^4,1
Tr4,i
Ko;J
Ktl
Tre.i ^^1,4 —
Tr6,i J^o,6 —
Kï;5 =
Ksio =
Kï;^ =
KS;i =
rr3.2
Prcmii've Partie. Livre III. 'Î67
Relativement aux coefficients K';'} , il y a quelque.s remarques à faii'e. 1°. On a généralement:
toutefois avec l'exception
tandis que i\'," est égal à zéro.
On a du reste:
Ko'; = (— i)'.
2°. Dans les formules (10), les valeurs de s s'étendent depuis s =^ o jusqu'à s = co, et celles de s', à partir de s' = o jusqu'à 5' = 21 inclusivement. Mais la plus petite valeur de la somme s + s' est égale à i — g.
3°. La somme des coefficients appartenant aux mêmes valeurs des indices supérieurs et dont la somme des indices inférieurs garde une valeur déterminée, est égale à zéro.
4°. En supposant, dans les équations (10), p égal à zéro, on obtient:
d'où l'on tire:
Les résultats que nous venons de donner, dans la liste précédente, sont vérifiés de diverses manières:
d'abord en formant les sommes SSK!,'v , s + s' = nombre déterminé;
ensuite en formant les sommes 2 Kj,'^,. ;
368 ' Traité des Orliitcs des Plauètc?.
finalement, eu renouvelant le calcul des coefficients dont il s'agit au moyen des formules
etc., Il , h' , /i , k' étant des entiers assujettis aux conditions /, + /.• = s; h' -4- /,' = s'.
76. Après avoir déterminé les coefficients K';" , nous allons introduire, dans les développements (9) et (9'), les valeurs des Uj^ données par l'équation (11). Les résultats qu'on obtient de la sorte, étant des développements suivant les puissances de a, on peut les mettre sous la forme générale:
(12) Cl::. = SI;r + '^lfa+ ^l'^ro^ + . . . ,
si l'on attribue aux coefficients S';"'' les valeurs que voici:
(13) ^r = - ri'"K^;^. + r^'"K;-..- r^"K^- + ..,
avec l'exception de
Cela étant, nous allons établir les développements suivants, où l'on ne mettra en évidence que les termes jusqu'au sixième degré inclusivement :
ff' = 4''/' — Syy V' + 45;"
— 45^'' + -Ori^Yj'"' — 2'àrj'rj'^ -{- i 2)y"^, <T^ = — 8)y'"-f 2^Tj*rj''' — 2\rf-ri^ -f S3^"\
Preniii''ie Partit'. Livre III. 369
Si nous introduisons ces valeurs dans l'expression
et que, d'autre part, nous admettions qu'on ait établi le développement
('4) (;;)"(7)"''^;;' = 2:^liJ(.^s,so,,,„-i^(.^s,so,,^^ + i^(",s,Oo,,v'
+ ii{n , s , s'),, „y/ — <I{ii , s , s'),,,^/ V/^ + iJ(» , s , s').,,.,r/^
il devient indispensable d'exprimer les coefficients constants Ù{n , s, s')^^ moyennant les S.
Dans ce but, supposons d'abord:
\ (' V )" lul,..,() I gl.".l ., I J TTC")
et nous obtenons facilement, après y avoir introduit les expressions de
(T , a" , . . . , ainsi que le dévelt)ppement de — -- "^iTi ' ^^^ expressions suivantes :
Traité des orbites absolues. 47
Traité des Orbites des Planètes.
TJ(n) ^ 31,",,0
ui::^,,,,, = (« + i)^^:;"'" + ^^ir,
u<">,„ ="^""~ '^^"~^si':v° + n'ai':-' + 4(«. + i)s;':/-' + ssi^r, , , , 1.2.3
Uw^,, = "^" + '>^'^ + l)s:;:.." + (3';r + i 2« + 12)8:;^'
+ 4(3« + gjSl;^^ + 248^;^ U(;o,3 ^(».+ .)0^ + 2)(»4-3)g,,„,o ^ ^^^= ^ 6^^ ^ ^)g,,„,,
Il convient de remarquer que la forme générale des coefficients U est celle-ci:
(17) Ui-,„, = ç,i^\ -f çr.S-, + çr,S-> + . . . + çr„+.S^r\
où, en employant la notation abrégée
on a désigné par ç'^ , çr, , . . . des fonctions rationnelles du nombre n et d'autres entiers, mais indé])endautes des indices s et s'.
Mais on pourra aussi mettre les coefficients U sous une autre forme, en les représentant comme fonctions des transcendantes yl'" . En effet, si
Pieniière Partie. Livre III. IÎ71
l'on i-emplace, dans les c'quations (i6), les S,"j moj'ennant les développements (13) et (13'), et qu'on admette la notation
les U seront exprimés par la l'ormule
{19) ui;;^,„,, = — a:;'; „,„7-!'" + (i;;:>,,ri'" — ■■.
mais dans le cas exceptionnel, où s et s' sont égaux à zéro, on aura, au lieu de la formule précédente, celle-ci:
(19') u^:^,.,, = e,ri-" + ç,r\'" + r./->" + • ■ + r>+.r'^.'-
Venons finalement aux coefficients iL En multipliant l'équation (15) par:
(1 -f />')" + i I »/ + I („ + 1)11 ,., Il n v(,i + \) ., I
on aura, en comparant le résultat avec l'équation (14), l'expression suivante de la fonction ii[ii , s , s'),,,, où j'omets les indices n, v et >', vu qu'ils sont partout les mêmes:
(20) i.'(»,s,s').. = U.,-«U, ,, + !iil^±i)u. ,,-..+ "^"+'^-'"+^-l)u„,
I ("+0"|rT ,TT , n(u+l)...(/i+s— I)
372 Traité des Orbites des Plauètes.
En voici quelques valeurs spéciales, où l'indice n est toujours omis:
ii{n , I , o)„,,. = U,,,,,,,. — nU„,o,„„.,
i^(« , o , i)„,, == U„,,,.., + {n + i)LT„,„,„,,,
!>(« , 2 , o),, = U,,„,,,, - «U,,„,,,, + !ii^)u„,„,„,,,
^-'('« , I , ^).y = Ui,,,„,,. — n\Joj,,y + (« + i)Ui,„,„,„. — w(h + i)Uo,o,„y,
ii{n , o , 2\y = Uo,,,„,, + {n + i)U„,,,,, + ^-!i±ii!^U„,„,,,.
77. Cherchons maintenant les expressions de la seconde forme des coefficients il, et admettons d'abord qu'il s'agisse du cas le plus simple oii :
On a alors:
Fo = I ; f 1 = ^^2 = • ■ • = O'
et, eu conséquence:
(21) UK = - Ki:ir\'" + K;;^ri'" - i^l-:y/' + ■■■■
En substituant cette valeur dans l'expression générale (20), on obtiendra:
(22) iÉ{)i, s,s')„,„ = Tiî::!,r\-" ,
les coefficients H"'s étant donnés moyennant la formule
(23) (— i)'H:;:. = K;;». — nK'-l,^ + '"^"^t '^Ki'\, — . . .
I "■ + ' I K-'" ,;K'.« I "('^+ Oyso I
(h+ l);i(ji-l)...(n-s' + 2) n(«+ l)(r(.+ 2)...(n + s-l)„,o X T"! ^ ~ T~^ ■'^0,0 ■
