Première Partie. Livre III

Le calcul d'après cotte formule est généralement moins aisé, mais on peut la remplacer par une fraction continue servant à calculer, de proche en prociie, les rapports de deux transcendantes consécutives.

En introduisant les notations

on obtiendra de la relation signalée celle-ci : qui s'écrit aussi de la manière suivante :

De cette formule découle immédiatement la fraction continue que voici:

dont l'application numérique est souvent très avantageuse. On peut encore y remarquer que, pour de grandes valeurs de n , (9„ tend vers la limite i -|-a^.

C'est là l'algorithme introduit par H.vnsen qui s'est servi, d'ailleurs, dans le cas où la fraction mentionnée cesse de converger suffisamment, des recherches de Gauss sur la série hypergéométrique.

A peine est-il nécessaire de rappeler que quel([uesunes des transcendantes j3',p s'expriment, d'une manière très simple, moyennant les intégrales ellip-

Traitc des orbites absolues, 5 [

402 Traité des Orbites des Planètes.

tiques complètes de la première et de la deuxième espèce. Mais il ne faut pas passer sous silence que M. Harzer, dans son mémoire ))Untersuchungeu liber einen speciellen Fall der drei Kôrper» que nous venons de citer, a employé, en suivant une remarque de M. Bruns, la méthode des quadratures numériques pour le calcul des transcendantes [i. Dans certains cas, cette méthode paraît, en effet, supérieure aux méthodes purement analytiques.

Quant aux transcendantes ;-, on remarquera encore le rapport entre celles-là et les coefficients du développement

j 1 — 2a cos H + ot^r^ = ^ SZ' + Zc6;,f cos«7/.

On a d'abord:

m \ m fm \- n— \] — 1-1'

d'où l'on conclut, eu comparant cette expression avec l'équation (39), réaalité

■Jo

Les f"-" s'expriment moyennant les dérivées des transcendantes o6J,"\

Je ne m'y arrête cependant pas, vu que les relations entre ces deux genres de transcendantes ne nous seront pas utiles dans la suite, et qu'elles ne sont pas assez simples. Quant à une propriété importante des dérivées mentionnées, il y a toutefois lieu de consulter les notes de M. M. TissE- RANi:), Callandreau et Darboux, toutes les trois insérées dans le tome XG des comptes i-endus de l'académie des sciences de Paris.

84. Si l'on avait calculé la transcendante /9 avec une valeur de a non parfaitement exacte, et qu'on eût obtenu en conséquence un résultat un peu erroné, il serait avantageux, pour parvenir à la valeur exacte, d'inuployer des formules donnant la correction due à l'incrément de a, au

l'rumicre Partie. I;ivic III. 403

lieu de refaire le calcul en entier. On déduit une telle formule de correction tout facilement en diiïéreutiant l'équation (5). Il s'ensuivra:

Or, en désignant par Aa et A|?',*' les incréments de a et de yî^i", et en admettant la notation

On peut encore signaler la fornnde

où A;']'" signifie la correction de ;-]•" due à l'incrément de a.

Quant aux f"'" , ni ayant une valeur plus grande que l'unité, on ob tiendra facilement, eu différeutiant la formule (44), la correction à ajouter aux valeurs préalablement calculées. Il ne paraît pas, cependant, nécessaire de mettre en évidence, à cette occasion, l'expression de cette correction, vu que sa forme analytique est sans intérêt.

Quant au calcul des corrections dont il s'agit on pourra aussi utiliser les tables de M. Wellmann publiées dans les »astrouomiscbe Nacbricbteu)^ n° 3040.

Finalement, en diiïérentiant l'équation {24), on aura l'expression de l'incrément des coefficients iJ(« , s , s'),., dû à l'erreur de a.

404 Traité des Orbites des Planètes.