Première Partie. Livre I

l'inégalité obtenue, on aura évidemment un résultat positif, tandis qu'une valeur de ;/;, un peu plus grande seulement que &,, rend négative la fonction

{'K + xT ■ ■ ■ (~ ^. + xY • • • •

Or, la fonction /'(./) étant continue entre .r ayant une valeur un peu jolus grande que f)„ et x égal à un nombre excédant toute limite, on conclut que cette fonction s'annulle pour une valeur de x comprise entre ?9, et la racine excédant &^ de l'équation précédente du troisième degré.

En multipliant l'équation (i8) par y9^, et en désignant /?.,// par x, on retombera dans l'expression qu'on a dénotée par f{x). De là s'ensuit déjà la réalité de la fonction H , mais il arrive aussi que l'équation dont il s'agit a plusieurs racines positives. Dans un tel cas, qui, en effet, n'est aucunement rare, il faut des considérations ultérieures pour décider laquelle de ces racines il faut prendre.

Ayant établi la réalité de la fonction //, il sera facile, même sans avoir déterminé sa valeur, de montrer la convergence de la série

à cet égard il suffit de renvo^^er le lecteur au paragraplie 7 de mon mémoire nouvelles recherclies etc., ou bien, à une lettre adressée à M. Hermite qui a été insérée dans les Comptes rendus de l'académie des sciences de l'institut de France, T. 108. On y a fait voir, que la valeur absolue de x, est moindre que

Ti

ou tout au plus égale à ce nombre, ce qui conduit au théorème suivant que je mets en évidence, eu employant une notation très utile de M. Poincaré:

X, +x, + ...<2\/^\^r. + yr. + ■■■]■

Les ;' formant une progression géométrique, il en est de même des racines cubiques y;-; on en conclut immédiatement la convergence de la série des X.

Traité des Orbites des Planètes.

Si l'on avait supprimé, dans Féquation (16), le terme /î^^, qui existe réellement toutes les fois qu'il s'agit de déterminer les mouvements des planètes, ou n'aurait pas pu montrer la convergence de l'intégrale. Voilà la raison pourquoi on a mis eu évidence ce terme, en établissant l'hypothèse du cas présent. La fonction H ayant la propriété de limiter et de rendre convergente l'expression de l'intégrale de l'équation linéaire (16), je l'ai appelée fonction horisfique.

9. L'expression de p que nous venons de trouver dans le dernier numéro, se met aisément sous la forme d'un seul terme périodique avec coefficient et argument variables. Pour y arriver, introduisons les notations suivantes, analogues à celles que nous avons employées dans le u" 6,

g ^= f] cos (tt — r) ^ z + C

h = 7] sin (- — r) = — S

Cela étant, nous serons conduits, immédiatement, aux expressions 20) P = V cos ((I — ç)v — tt)

et

I + Tj COS ((I — q)v — -)

La valeur du diastème à un instant déterminé étant donnée au moyen de la formule

{--) '1 '0 \—yj"

j'appelerai 37 fonction cliasténmtique: elle est, dans les théories des planètes, une fonction contenant, outre une constante, seulement des termes périodiques qui acquièrent des valeurs constantes lorsque les vitesses de l'argument disparaissent. Dans ce cas, toute la fonction tj, ayant une valeur