Première Partie. Livre I

8. Je vais maintenant considérer un type des courbes périplégmatiques à diastème variable jjIus général que celui des orbites intermédiaires: je me proposerai, dès l'abord, de cbercber les courbes périplégmatiques dont le diastème ne s'annule pas avec les constantes d'intégration.

L'iiypothèse le plus simple relativement a // conduisant à de telles courbes, est celle-ci:

II étant une fonction de certains coefficients con.stauts, laquelle nous allons mettre en évidence un peu plus bas, et A , un agrégat périodique de la forme suivante

où les y ain.si ([ue les a sont des petites quantités positives.

Avec l'expression établie de //, nous obtenons facilement de l'équation (4) la suivante:

dont l'intégrale se trouve immédiatement. En désignant par x et /" les deux constantes d'intégration, et par c, une quantité découlant de l'équation

nous arriverons au résultat

fi. If

où les divers x sont des coefficicuts s'obtenant en vertu des expressions que voici:

-(■-A-AW)'

— ffj

'-(•-A-ÂW)'

TraUc des orbites ahsolves.

34 Traité des Orbites des Planètes.

Maiutenant, si nous admettons que la fonction II soit égale à la somme des carrés de tous les /,, et que nous posions, pour abréger,

la fonction sera H obtenue en résolvant l'équation

(^^) ^ ^ {», + liJIY' + (*, + yî^ff)^ + • • ■ •

Evidemment, si les termes de droite sont en nombre fini, l'équation que nous venons d'établir, admet toujours une racine réelle et positive; c'est de même si les y forment une série infinie, que nous supposons toujours convergente comme une progression géométri([ue, supposé toutefois que les ê soient des quantités positives. Mais aussi dans le cas où le nombre des termes e.st infini et que parmi eux il se trouve un nombre infini de ê négatifs, l'écpiation (i8) sera satisfaite par une valeur finie, réelle et positive de //, et en conséquence, son membre droit, étant exprimé au moyen d'une série infinie, restera convergent. En voici la démonstration.

Soit — //•„ la plus grande valeur négative des &, et x , une quantité plus grande (pie >9/. alors, il s'ensuit que l'inégalité suivante subsiste:

?-■ , ri , , ri , ri + ii + ■■■

(,v, + .vY "^ {>i.^ + a;)'^ "^ ■ ■ ■ "^ (- ,% + xr -f • • ■ "^ (- ^. -f x)-' '

d'où il se dérive celle-ci:

Donc, si l'on détermine x en vertu de l'équation

qui admet nécessairement une racine réelle et positive, plus grande que &^, et que l'on introduise cette valeur de x dans le premier membre de