Première Partie. Livre III

supprime le second membre. On parviendra maintenant, eii considérant l'équation (7), au développement

^ir =-\w, + Tr,h + wy + . ],

les TF,„ , donnés par l'équation (8), étant ]rar consécjuent, les mêmes dans les deux développements (7) et (38).

On aura ensuite:

3lF„, aH'o"*

cos vv +

= 2 ir','"' sin w + 2 TT'!;" sin 2\v +

d'où l'on tire immédiatement, eu égard à l'équation (10), la relation (40)

3 H'„, 3 )r,„ av "^ 3v' "

Ensuite, puisque, ce qui est facile à voir, les fonctions W,„ doivent satisfaire la condition exprimée par l'équation (44') du n° 71, nous aurons:

Arrêtous-nous uu moment pour déduire, d'une manière immédiate, l'équation dernièrement énoncée. Dans ce Ijut, rappelous-nous d'abord les relations

Considérons ensuite les équations (30) du n° 80, dont le type i^énéral est celui-ci:

W,„ = con.st. r'"r""D~'-'"'+'\

Il s'ensuit, par difîérentiation,

~ i dWm m , , , , —

Tn = (2»» + I)-^ rr

r — r cos w

W,„ dr

I dWm m. , , , r

-— ~ = -. (2JH -4- II—

Traité des orbites absolues.

V + r — 2rr cos w *• cos w

418 Traité des Orbites des Planètes.

d'oii l'on tire, après avoir multiplié la première équation par r et, la seconde par r',

311™ , ,311.. rj,

dr dr ""

ce qui revient à l'équation (41).

ail''"'' aH'*'"'

Les dérivées — -4- , liées avec les — — ^ par des relations de la forme

de l'équation (41), s'obtiennent maintenant de deux manières différentes: en premier lieu par différentiation directe de l'équation (19). On arrivera de la sorte à l'expression

^"^'^ '^li!'i^ ZZ(s'+ ,){)•'"(«, s, s' + .)„,„- )•"'(«, s, s' + i),,oV + ---

+ ■ Mpyip'Y-

L'autre mode d'exprimer les dérivées dont il s'at^it est fondé sur l'équation (41). En y introduisant la valeur de TF','"' selon l'équation (19), ainsi que celle de sa dérivée par rapport à (^/), il viendra

(' + ^^''') '^i^y - ^^i ^'■"(» ' ^ - «')o,o - >•"'(» , s , s'),,or + • • ■

+ ■ -K/'n^/r — (i +(.;))ZZ(s+ ,){)""(«, s + ,,s')o,o—... !(/')"{/>?■■

En effectuant les multiplications demandées, on arrivera à une ex-

3))""' pression de '.' qui, comparée avec l'équation (42), conduit à la relation

générale que voici: