AQ = AK

3v qu'on obtient immédiatement en vertu des équations (35")-

93. lieste à dire quelques mots sur le développement de la dérivée D^fJ, développement qui s'établit facilement si ceux des fonctions P^Ti,'"' sont connus, et qui se ramène, au reste, à ceux des fonctions P , Q et R. On parvient au développement demandé en partant de l'équation (37) du n° 70, si l'on y introduit le développement (7) du chapitre présent. Il viendra de la sorte

(56) ^T)^il

aTF„ , air, , ,zW,.^. 1 ., , - H Il -\ h + . . \JÀp)

' av ' av av '

iali 1^

+ |TF, + 2TF,h + :,w.y +

formule qui se remplace par la suivante:

(57) }À^ -rf-)\\i>-='^^,-{i-ri^)\>\K{p) + {i +,o)H,)[, ou bien, par celle-ci:

+ (1 +/>)=(ir> + K<'4i+ ...)'l\.

av)

Par ces formules, on obtiendra, dune manière aussi aisée que possible, le développement de la dérivée dont il s'agit, sous la forme que nous venons

Premiiie Partie. Livre IIL 423

de mettre en usage j)ar les équations (21), (23), (25) et (2g). Cependant, très souvent il paraît préférable de eliereher eette dérivée moyennant la

différentiation direete, après avoir substitué, dans le développement de -. ii

les valeurs de {fi) et de h. De ces valeurs, celle de {/>) est donnée, comme nous savons, ])ar la formule

{f,) = rj cos (v — tT) — (- — /')), d'où il vient :

{py =\-fi' f"^ (^' — '"' — (" —'''>) + 4 ''i'' ^'"^ 3(v — «"' — (- — T)),

Quant à la valeur de h, nous l'avons donnée à plusieurs reprises: d'abord, dans le n° 47, jiar les équations (4) et (5). On j' a aussi donné les expressions de la deuxième et de la troisième puissance de h, en ne considérant, toutefois, (|ue la principale partie de cette fonction, ce qui suffit le plus souvent, notamment dans le cas des jjlanètes ])rineipales.

En ne tenant compte toujours que de la partie mentionnée de h, nous aurons, en vertu de l'équation (5, a) du numéro cité, l'expression

(5g) h = </»„ cos (v — v') + 0, cos (v + v') + 0.J sin (v — v') + (/|, sin (v + v'),

(b^ , '/>,,... étant des fonctions restant inaltérées des différentiations ])^. et 1)^, et dont voici les expressions:

(60) <fi^ --= - ~(i + i)r -^-(i + V)I" + ^ //' cos(,V, — ,% — {G — G'))

-f ^(i +fX' +f')/v^[i +oo^2{fl,~>y,~{G-G'))i

(60') </>, = - (i + f) /' cos 2(,9, — G) + ^ (i + f) I" cos 2(,% — G-") — ' //' cos (,9, + ,'f\ -—G — G')

— -^(i +f)(. +f')/=/"'[eos2(/y, -r;) + cos2(,v;-6^')]>

424 Traité des Orl)i(es des Planètes.

(60") <D^ -= \ II' sin (,9, — 1% — [G — G'))

(60'") 0,= ^(i + f) r sin 2(,9, (?) + 1 (, + f) /''^ sin 2{,% — G')

— \n' sin ('•^1 + »'/; — G — 6-")

-(I + f)(i + f')/^2'T8in 2(,9, - r;) + si" 2{H\ - G')].

Dans ces formules, ou a employé, pour abréger, les notations du u° 32, savoir:

79, == n + (j — 0; n\ = n' + fi' — 0'.

Evidemment, après avoir mis la fonction h sous la forme (59), il sera très facile d'effectuer les multiplications que demandent les formules (7) et (8), (11) et (12), ainsi que les formules analogues relativement aux fonctions P', Q', R' et aux dérivées D^ij et l)^, iJ'. On aura en effet, pour en donner uu exemple,

(61, a) h cos«(v— v')= - '/'„[cos(« — i)(v — v') + cos (h + i)(v — v')]

+ ' ^/',[cos((«-i)v-(«+i)v') + cos((«+i)v-(»-i)v')]

+ sin((j/ H- i)v — ('« — i)v')],

(6 1,1)) h sin«(v— v') = \ '/'^[sin {;n — i)(v — v') + sin (w + i)(v — v')],

+ \ <'/',[sin((«-i)v-('»+ i)v')+sin({»+ i)v-(«-i)v')]

-f- - (/'.^[cos («. — i)(v — v') — cos {n + i)(v — v')]

+ ^ '/A; [cos ((« — i)v — {n + i)v')

— cos ((M + i)v — (« — i)v')].