Première Partie. Livre III

On comprend encore que les puissances de h, ainsi cjue les produits de

ces puissances par - ou - , se forment aisément et, (lue les multi|)lications

de ces puissances ou ])roduits par cos«(v — v') ou sin «(v — v') s'opèrent sans difficulté.

Mais au lieu de l'expression (59), on ])eut aussi, dans certaines occasions, employer la forme de h qu'on a donnée au n° 51, forme qui ne conviendra pas, il est vrai, quand il s'agit de former les dérivées partielles, par rapport à V ou à v', au moyen de différeutiations directes. Mais à certains égards, la forme du numéro mentionné nous rendra des services iinportants. Je ne jiarlerai, quant à présent, que d'une seule cjuestion dont la solution s'obtient aisément eu employant la forme mentionnée.

On sait que l'expression complète de h renferme des inégalités périodi([ues des fonctions ,^ et ,'/ dépendant des configurations des planètes et s'évanouissant avec leurs masses, inégalités qu'il convient d'appeler inr.f/nlitrs anastématiqucs. Or, ces inégalités formant des incréments à ajouter aux parties élémentaires de i et ,V, c'est-à-dire, aux (juantités que nous avons désignées, dans le n° 51, par (,^) et (y), on parviendra le plus promptement possible à détacher, de la fonction totale h, la partie qui dépend des incréments d^ et o}l , si l'on a exprimé h par ,^ et 5'

Désignons dorénavant par (h) la partie élémentaire de h, en sorte que (h) sera la fonction déterminée par l'équation (4) du 11° 47, et, par u\\ la partie de h qui disparaît avec les inégalités anastémati(pies: nous aurons alors :

(62) h = (h) + Jh

Cela posé, en consultant l'équation (12) du n° 51, on reconnaîtra tout de suite (pie la partie (~1\\ sera donnée par la formule

(63) ^h = ilf,.?^ + MV>^ + A^ g + AT; g.

+ l\ù^,' + P\àf + Q,,)^'f^ + Q\â{]^r + I\o^à.; + . . . ,

les il/| , M\ , A', , . . . étant donnés dans le numéro cité.

Afin de tenir compte, dans le développement de la fonction perturbatrice ainsi que dans ceux de ses dérivées partielles, d(»s tcriin's dépendani

Traité des orbites absolves. ,-,.j

42G Traité des Orbites des Planètes.

des inégalités anastématiqiies, il faut développer les expressions (7), (11), (38), (44) et (56) suivant les puissances de oh. Ces développements s'effectuant d'une manière très simple sans qu'il soit nécessaire d'eu donner une explication détaillée, je les passe sous silence.

Quant à la fonction (h), il faut encore observer qu'elle n'est pas tout à fait identique avec h donné par la formule (59), vu qu'il manque les petits termes sousélémentaires qui dépendent des fonctions (C) et [C'), termes qu'on a mis en évidence dans l'équation (4) du n° 47.

94. A la fin du chapitre présent, je vais, mettre un résumé succinct des développements établis, et fixer le système des indices, dont le nombre est assez grand.

Soit N une des fonctions - iJ , P , Q , . . , nous allons d'abord établir

le développement

(ot) N = N<»> + N"'h + N'-'h' + . . . ,

auquel il faut ajouter, dans certains cas, un terme qui jJîiraît multiplié par

- ou par — : . Il ne sera pas nécessaire de tenir compte, dans cet exjjosé,

de ce terme. En introduisant, dans la formule [a), l'expression complète de h, on considérera, d'une manière tout à fait rigoureuse, l'infiuence des inégalités anastématiques.

Cela étant, nous allons développer la fonction N''"' suivant les puissances et produits des inégalités diastématiques, en établissant la formule

(/9) N'-' = Xî,:;,> + K'^'h + N'^V^.^ + . . .

+ N<';;Vy/ + ^\":^àpûp' + . . ■

+ ^'^'^âp' + ...

où j'écris, pour garder plus de S3'métrie, ûp et op' au lieu de (i — 3y^)f et (i — y/')^', c'est-à-dire, au lieu de R et de E'.

Maintenant, je puis omettre tous les indices, eu considérant les termes des divers N[™] comme formant des groupes isolés qu'il faut traiter séparément des autres. J'écris donc tout simplement N au lieu de NJ'".', mais

l'ieniioio l'artie. Livre III. 427

([uelciuel'ois, s'il est nécessaire do distinguer les termes appui-tenunt à divers groupes, j'emploierai la notation

Nl:i!="GrN,

ce qui me permettra de charger le symbole N d'un grand nombre d'indices nouveaux.

Les N étant des fonctions de w , [/>) , (//') , Yj' et y/'\ je les représenterai, conformément à nos développements fondamentaux, au moyen de l'expression suivante:

(;-) N = ZZ{N(o , s , s'j„„ — N(o , s , s'),,,//' + . . .

+ 2ZZZ|N(«. , s , «■)„, — N(u , s , s'),,,ry-^ + • • • + N(« , s, s')»,i ''/"—- • •

Voilà la forme fondamentale du développement de la fonction ])erturbatrice. Il est certain que l'expression (y) est convergente, tant que les fonctions diastématiques restent moindres que l'unité. C'est de même quant au développement (y'î): Les inégalités diastématiques pourraient être beaucoup plus fortes qu'elles ne le sont à l'état actuel des choses, sans que le développement (y9) cesse d'être très convergent. Mais la fornmle (a) peut être divergente même si la valeur de h reste toujours n()tal)Iement inférieure à l'unité; s'il s'agit des planètes principales, il n'y a pas, cependant, lieu de craindre qu'un tel cas n'arrive

De la forme fondamentale, i»n pourra, déduire, moyennant des transformations convenables, plusieurs autres formes du développement de la fonction perturbatrice: je me restreins à n'en iudicjuer que les trois suivantes:

A) En introduisant, dans l'équation (/-), l'expression du produit {py{p'y ^'"''"'"^ donnée par l'équation (3) du n° 55, on aura, après un calcul assez simple, bien (pi'il puisse paraître laborieux, la fonction N développée suivant les multiples de F , F' et F — F' -j- <o — 10' + " — ^ — (^' — 1")-

428 Traité des Orbites des Planètes.

Mais cette forme n'étant pns appropriée à l'intégration directe des équations différentielles que nous allons déduire prochainement, je ne la considère plus. B) Les arguments E et E' ainsi que (j et G', définis au n° 26, étant lioraorythmiques avec F et F' respectivement, on pourra exprimer le développement de la fonction N moyennant les arguments E , E' et

ou encore par Ct , (V et (t — (t' -j- oj — w' + ~ — -^ — ("' — -^")- C'est surtout la dernière forme qui mérite d'être mentionnée, vu qu'elle porte à exécuter un certain nombre des intégrations demandées d'une manière assez simple. Il faut toutefois rappeler que les angles G et d' ne sont pas homorythmiques, ni même isocinétiques avec les angles vf -\- A — /' et n't + .1' — F' respectivement, parce que les différences 7if — G et;/'/ — G' renferment, chacune, un terme séculaire. On aura, en eft'et, si l'on introduit dans l'équation (10) du n° 26, la valeur

^= t — T, l'expression

G = (1 — ç)nt — (i — ç)nT + A — - + (i ^ ç)X,

d'où l'on voit, immédiatement, que le terme séculaire dont nous avons parlé est çiit. Il est donc impossible d'employer, comme arguments, les angles ;;/ + .1 — /' et n't + •'!' — / ' sans être obligé de développer suivant les puissances du temps, ce qu'il faut, cependant, éviter dans une solution absolue de notre problème.

Mais les angles G et G' étant isocinétiques avec (1 — c) '"' + 1 — /' et (i — ç')ii'f + A' — I ' respectivement, on peut employer ceux-là comme arguments au lieu des premiers. Cependant, les agrégats périodiques ( i — ç)iiT et (i — ç')ii'T' renfermant des termes dont les vitesses de l'argument sont extrêmement faibles, en sorte que la nature isocinétique des arguments dont il s'agit paraît altérée pendant de longs intervalles du temps, on pourra douter que l'introduction de ces derniers arguments soit favorable. Elle est, au contraire, interdite dans certaines occasions. '

' Dans mou mémoire »Untersuchungen iiber die Convergeuz etc.», j'ai évité le développement suivant les puissances de la quantité T (ou Z), ce qui m'a permi de mettre en évidence qu'une inégalité déjjendant d'un très petit diviseur ue peut pas excéder une limite déterminée, bien que ce diviseur soit évanouissant.

Picmière Partie. Livre III. 429

Pour arriver :iu dcveloppement qui procède suiviiut les multiples de

G et de (!', il ne fiiut (lue mettre en usac^e les expi'essious de («)'" «F

données par Le Vicrkikk dans le Tome premier des Annales de l'observatoire de Paris.

C) Il existe cependant une seconde forme trigonométrique du développement de la fonction perturbatrice qui paraît amener beaucoup de facilités, soit parce qu'elle est plus convergente que celle où l'on a employé les arguments (t et (}', soit parce qu'elle se prête le mieux aux intégrations des équations différentielles d'où s'obtiennent les coefficients diastématiques. Cette nouvelle forme qui présente, d'ailleurs, plusieurs analogies avec la forme employée par Hansen dans ses recherches sur les perturbations des petites planètes, dérive de la substitution, dans le développement fondamental, des expressions de (^')'(/>')^c"''"'~'", dont nous avons donné l'exposition au n° 59. C'est en particulier de cette forme que nous alhms nous occuper dans le chapitre qui suivra.

430 Traité des Orbites des Planètes.