Première Partie. Livre III
S'il est nécessaire de distinn'iier les dilTéreiits indices, j'einploiei'ai la notation
Ainsi, pour donner un exemple, si l'on admet: s = s' = I ; /J. = 2,; /^' = o ;
et qu'on prenne les signes supérieurs c'est-à-dire la combinaison (4), le coefficient aura la valeur
ce qui est immédiatement visible par la formule (14, 1,1,5) du n° 5g.
Dans un second exemple, nous allons chercher, parmi les termes de la formule (14,2,1,5), celui dans lequel les coefficients de /{rr — F) et de /(tt' — F') sont respectivement +3 et +2. Evidemment, il faut prendre la condjiuaison (4), et le coefficient du terme d(int il est question est donné par l'expression
On obtiendra de même:
iiii , 1 .1 =
J'adopte encore les notations que voici:
• p = s -f fl, P = s' + //' , s = 91 + (p — 2r),
ce qui me permet de rendre la formule (i) un peu])lus courte. Je l'écris, eu effet, de la manière suivante:
(i') T{f,y/''é"') = Ey/îy'i''ef'i'--"-><-''''"t>'-^'--i<-'-'''+'r'(v-«)-.'v+„<.^-.o^
432 Traité des Orbites des Plauètes.
formule qui se remplace par la suivante
(i") T(/>Vy^'e'"") = E)y'':y'"'e"
-r)+iU(7-,r,)-s'v+«ui
On voit immédiatement que le degré du terme auquel appartient le coefficient dépendant des indices s , s', /x et /ï , est déterminé par la somme
Evidemment, il existe une infinité de termes dont les indices s et s' restent les mêmes. Le groupe renfermant tous ces termes sera appelé la synechie des indices s et s', et il convient de la désigner par le symbole
Encore, pour exprimer que différents termes appartiennent à la même synechie, je les nomme ternies coordonnés.
On voit facilement que les termes coordonnés forment une série infinie procédant suivant les puissances et les produits des fonctions diastématiques. Mais il faut remarquer qu'il y entre plusieurs termes du même degré dont le nombre est, toutefois, fini.
Les termes coordonnés du degré le plus 1)as déterminent le degré de la synechie; je les appelle ternies coordonnés 'principaux ou plus brièvement termes principaux. Le nombre qu'indique ce degré étant évidemment égal à la plus petite valeur que peut acquérir la somme p + p', je vais montrer que la valeur minima de p + p' est égale à la différence s' — s prise toujours positivement.
Dans ce but, il suffit de remarquer qu'on aura, en vertu des deux dernières des équations (2), la relation
ou bien:
les différences s — s' efc s' — .s étant supposées toujours positives. Or, les nombres r et r' étant toujours positifs, la valeur minima est, en conséquence, ou égale à s — s', ou, à s' — s.
l'i-cmi.'ir Puilic. Livre Ilf. 433
Concevons iniiintcuant (mi particulier les termes iiriiicipaux afin de déterminer leur nombre.
En désignant par d le degré de la syneebie, il est aisé de voir que les termes principaux sont au nombre de d + i.
En effet, les divei'S termes principaux étant différents des autres, d'abord par les différentes valeurs de p et p', dont la somme est toujours constante, on peut distinguer les coefficients
dont le nombre est évidemment d + i .
Si l'on a tixé les valeurs des trois nombres .9 , s' et p , on obtient celles des nombres n et p' en vertu des relations
supposé toutefois que s soit moindre que s'. Dans le cas opposé, ou doit prendre :
Dans le premier cas, il faut prendre ])' tout au plus égal à .s'; dans le second, p tout au 2>l'^is (^g^l i^i •''■
Au contraire, si les valeurs de s , s' et p' étaient données, on déterminerait les valeui's de n et de p, en utilisant les relations indiquées.
Ces règles seront utiles lorsqu'il s'agit de cberclier les t(:'rmes d'une certaine forme appartenant à une synecbie déterminée.
Pour rendre les cboses ]ilus claires, passons à traiter un exemple.
Supposons:
Le degré de la s yneclne est 3, et il est évident qu'on doit prendre p' égal à I .
Maintenant, les relations
donnent, toutes les deux,
Trailt: de fi nrhiles absolues. .^^
4o4 Traité des Orbites des Planètes.
Cela étaut, puiscju'ou a:
on doit faire successivement:
et chercher, dans les formules (12,0,0,3), (12,1,0,3), (12,2,0,3), (12,0,1,3) (12,1,1,3) et (12,2,1,3), en y faisant n égal à 4, les termes qui renferment le facteur
On trouvera de la sorte les coefficients çf-'s"'''" , çî''£,^''' , - 5\'^ ,
- £2*''' , — - £^^'' , - , dont les produits par le facteur indiqué donnent tous
les termes de la forme envisagée.
Il convient de remarquer que la somme p + p' est un nombre pair tant que la différence s — s' est paire; dans le cas opposé, p + p' est un nombre impair.
Mais il peut arriver que les nombres s et s', tous les deux ou seulement l'un d'eux, acquièrent des valeurs négatives. Dans un tel cas, le degré de la synechie est encore égal à la valeur absolue de la différence •S — s', et servent les formules (3) et (3') toujours à déterminer la valeur de 11.
Soient par exemple:
il en résultera:
et nous aurons, d'après le,-; relations (3'),
n = i . En introduisant ces valeurs dans la formule (i"), il viendra;
Fieniière Partie. Livre IIl.
et ])iiis(ju'()ii a:
I = s + /i, 3 = s' -f IL.
on doit chercher les dittercutes valeurs du coefficient Vj dans les formules
etc.
96. 8'il s'agit des ternies d'un degré jilus élevé ((ue celui de la synechie à laquelle appartiennent ces ternies, il i'aut que les nond)res p et p' satisfassent à la condition
d étant le degré de la synechie; tandis (jue r et r' représeutent des entiers positifs pris à volonté.
On eu conclut que le degré d'un ternie ap])artenant à une synechie donnée ue peut différer du degré de la synechie que d'un nond^re pair.
Mettons en évidence les quatre combinaisons auxquelles sont soumises les deux dernières des équations (2). Nous aurons:
s' — ti ^ — (p' — 2r'),
En ajoutant les équations de chaque groupe, l'une et l'autre, il résultera:
Il — *■ =
Cela étant, on peut prendre s' , s , p et p' à volonté, à la seule condition que la somme p + p' S'oit paire ou impaire selon que la différence est paire ou impaire; et encore ([u'elle soit plus grande ou tout au moins
436 Traité des Orbites des Planètes.
égale à la valeur absolue de cette différence. Mais pour rétablir l'égalité, il faut attribuer à r et r' certaines valeurs positives, assujetties aux conditions
Alors, les différences {) — 2r et p' — 2r' seront toujours positives ou nulles, et l'on doit considérer celle ou celles des équations (4) qui seront satisfaites, les valeurs de s , s' , p et p' étant données.
Supposons, pour étudier un exemple spécial,
Evidemment, les conditions nécessaires seront satisfaites, soit par la seconde, soit par la quatrième des équations (4). On aura en efl'et: i) si l'on choisit la seconde de ces équations:
d'où il est visible qu'il faut adopter les valeurs
2) si l'on prend la quatrième des équations dont il s'agit:
équation qui sera satisfaite de deux manières différentes: d'abord eu faisant r ^= I ; r' = o, et ensuite par les valeurs r= o , r' = 1 . Mais ou s'aperçoit sur-le-cbamp de l'identité de cette dernière hypothèse avec le résultat ti'ouvé dans le premier cas.
Examinons un peu eu détail, les deux cas que nous venons de distinguer.
D'abord, les équations II nous donnent les relations
d'oîi il résulte:
« = 5- Mais puisqu'on a
on doit chercher, parmi les termes des formules (14,0,0,5), (14,1,0,5),
Preiiiii'iX' l'artic. Livre III. 437
(14,0,1,5), . . . , (4,3,2,5), ceux qui, » pris l'^-ul à 5, dépendeut du facteur varial)!c:
iJe la pivniicre des formules énunu'rée.s, un tire le eoelTieient çYs''/'^'; de
la secoude, le coctïicieut ç!/^ £'!,'•'''' \ etc.
Venons au second cas.
L'équation IV nous donne, en supposant r = 1 , r' = o,
donc, il faut prtnidre
Or, dans le cas présent, on a, outre les relations
qui sont communes aux deux cas, les valeurs
on doit donc chercher, dans les expressions énumérées tout à l'heure, les termes qui ont pour facteur variable l'expression
Tj rj fi
On aura, par exemple, de la première des e.xpressions mentionnées: ç^'-'ô'*''. Après avoir montré comment on détache, de la forme fondamentale, les termes isolés appartenant à une syuechie donnée, je passe à transformer la totalité des termes de la forme mentionnée.
97. Il s'entend, par ce qui précède, que les termes d'un type donné appartenant à la forme diastéraatique, se produisent en transformant diverses parties de la forme fondamentale. Or, il convient de réunir tous ces termes en un seul, ce qui sera, évidemment, possible. Dans ce but, on se rappellera que les divers produits />'/>"" 6""' entrant dans le développement (;-) sont multipliés par les coefficients N(« , s , s'),. y. En conséquence, pour avoir le coefficient complet d'un terme dont le facteur variable est
Xe'
[(nq:(p-2r))(T-,i)-(»i + {p'-2r'))V + n(.^-':'')J
' 438 Traité des Orbites des Planètes.
il faut funiier la somme
(5) <'>(p, P', !•,••', "X. =-nN(«, s, s'X,. %-,.,,,„ |,
en éteudaut la sonimatiou sur toutes les valeurs de s et s' (jui, à partir de s = s' = o, ne surpassent pas s = p et s' ^ p' .
En faisant usage de la formule (5), on remarquera que le résultat sera indépendant de s et s', c'est-à-dire que ces nombres n'entreront pas comme indices dans le résultat, mais que l'indice n y reste comme symbole algébrique.
Prenons pour exemple le terme du quatrième ordre dont le facteur variable est
En inspectant les équations (13 , s, s', 4), et en détachant les termes du type mentionné, on trouve, après avoir effectué les multiplications par les N(tt , s , s'),„. que demande la formule (5),
(i(2 , 2 , O ,0,fl),y ■= - e:''~-s'^""''^f'-N{ll, O , oXy
+ ^ r,'-''-'4"---''^'-N(«,o, lly
— - çr''-'£r-^'^''N(«, 1, 1),.,.
+ igN(u,2,2)„,,.
Pieniièie Partie. Livre III. 439
Evidemment, dans notre exem])le, il faut prendre
autrement, le facteur dépendant des fonctions yj et jy' devrait être
Les formules servant au calcul des coefficients (I sont, comme on voit, soit jxir l'expression (5), soit par l'exemple que nous venons de traiter, de la, même forme, quelles cjue soient les valeurs de u et v'.
Qu'on remarque encore que les cinq indices p, p' , r,r et « déterminent complètement, avec le nombre c l'argument du terme. Ainsi, jiar exemple, l'expression complète du terme dont le coefficient est
(t(3 , I , I , o , !/)„,,', sera :
On sait que la valeur du nombre c peut être 1,2,3 o^^ 4', cependant, si l'indice p est nul ou égal à 2r, les combinai.sons (i) et (2) se réduisent, l'une à l'autre, et c'est de même ([uant aux combinaisons (3) et (4). Egalement, si l'indice p' est nul ou égal à. 2r', les combinaisons (i) et (3) ne diffèrent pas, l'une de l'autre, ni les combinaisons (2) et (4) non plus. Si p et p' sont simultanément égaux à zéro ou à 2r, respectivement à 2r', toutes les quatre combinaisons reviennent à une seule, et ce ne serait plus nécessaire de les distinguer par la notation (c): je vais cependant, dans ces cas spéciaux employer la notation (o). Mais on pourra éviter cette notation encore si Fou emploie les indices p , p', .9, .s' et n. En effet, la relation
sera légitime si l'on a déterminé la valeur de c en considérant les signes de n — s et s' — n , et qu'on ait choisi les nombres r et r' de façon que les relations
soient satisfaites, 2r étant toujours moindre ou tout au plus égal à p, et 2r', moindre ou tout au plus égal à p'.
Supposons, pour élucider le rapport entre les deux manières de dénoter les coefficients G,
D'abord, puisqu'on a
le cas considéré appartient évidemment à la troisième comljiuaison; et il est encore clair qu'on doit prendre
Selon les circonstances, on. pourra donc se servir de l'une ou de l'autre des notations signalées: la première, ovi l'on met, directement, la combinaison en évidence, est préférable lorsqu'il s'agit de termes appartenant à une valeur indéterminée de l'indice n, et la seconde, s'il s'agit d'une synechie déterminée.
Quand p est égal à zéro, on aura nécessairement aussi r égal à zéro et s égal à. n. C'est de même quant aux indices p' , r', s' et ji .
98. Voici maintenant la liste complète des coefficients appartenant aux termes jusqu'au troisième degré inclusivement. J'y adopte la première manière à mettre en évidence les indices, et j'omets les indices u et v' qui sont communs à tous les termes.
(Il)
Ct (o , o , o , o , vv) = N (» , o , o),
(r{l ,0,0,0, II) = — ci*'-'N(« ,0,0)+ ' ]S[(» ,1,0),
in ,
Pieinière Piiitic. Ivivrc III. 441
(jr(2 , o , I , o , ii) = — s:''''"N{n ,0,0)—^ (£';*'■' + £';*■• ')N(y; ,1,0)
Ct(2 , o , o , o , «-) = £7'-N(h ,0,0) £"*'■' N(h , 1 , o) + - N(j/ , 2 , o),
G(i , 1 ,0,0,») = — ç';'-'c',"-"^-'N(h,o,o) +^ci''-'N(», I ,0)
G(i , I ,o,o,«.) = — 6;''"'e',"^"^"''N(M,o,o) + Jf;''-'N(«, i ,0)
— '£("-"*'■• N(»,o, i) + iN(?^ I , i),
i £(" + ■),,-. jj(„ ^ o . i) -f - N(» , I , i),
G(o , 2 , O , I , «) = — erN(» ,0,0) + ^ (c.;'-' • + cr''--')N(» ,0,1)
G(o , 2 , o , o , w) = ?;''-^N(h ,0,0) + -fr''"'N(«, o, i) + N(h ,0,2),
7Vai7e des orbites absolues. eo
Traité des Orbites des Planètes.
(Is'r'' + - £?'■') N(« ,2,0)+ |N(« ,3,0),
^„,-i^0,^i)v-,0]sj(^„^O ,0)
• ^„,-i^^(«-nç.-i |. c("-iH-'')N(«, I ,0)
.1 3(n-l)v-,nN(,„ ,0,0 + -C'/'^'N^» ,2,0)
.1 (^g(«-iV,-i | £("~'HM)N(» , I , l) + -'-N(«, 2 , l),
- -^ï'Vf'i"^"*''^' + s','"^ "*"'') N("', I ,0)
.!,(n+iv,"N(«,o, i) + '-?;'''N(w, 2 ,0)
.(£("+iv,-i ^ £("+''*'.') N (m, I , i) + -N(m, 2 , i),
