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Ces termes, je les appelle termes éJémentaires du type {A). Les termes du second genre, dont les arguments sont donnés au moyen de l'expression
seront nommés termes flémentaires du type {B).
Il s'entend facilement que la période d'un ternie du type {A) est toujours très longue, taudis que celle d'un terme du type {B) est à peu près égale au temps de révolution.
Mais on rencontre aussi, soit dans le développement de la fonction perturbatrice, soit dans les expressions des inégalités, des termes dépendant des mêmes arguments ipie les termes élémentaires, mais dont les coefficients sont multipliés par une puissance ou par un produit des forces troublantes. Ces termes, n'étant pas élémentaires dans le sens ordinaire du mot, je les appelle termes sousélémentaires. et je vais distinguer des termes sousélémentaires de divers ordres, de sorte qu'un terme sousélémentaire serait, par exemple, du premier ordre, si son coett'icient contenait comme facteur la première puissance d'une masse troublante.
11 y aura lieu de distinguer des termes surélémeiitaires, dénomination par laquelle j'entends les termes devenant infinis lorsque les masses troublantes disparaissent. Ces ternies, ne pouvant se produii'c que passagèrement, on
38 Traité des Orbites des Planètes.
saurait toutefois les éviter par uu choix ratiounel des formules différentielles dout l'intégration donne les inégalités.
lo. Les fonctions g et /* se déduisent, d'une manière directe, en intégrant l'équation (i6) moyennant la variation des constantes arbitraires: il y a toutefois une remarque à faire que nous allons indiquer d'abord.
Soit:
/' = <IU^ + ^l'J..
l'intégrale complète de l'équation
g et 11 étant deux fonctions qui prennent des valeurs constantes si R est égal à zéro.
Eu introduisant l'expression signalée de p , ainsi que sa deuxième dérivée, dans l'équation (23), on obtient immédiatement:
(24) tj-tv'^tvdv'^d~v\!'^tv^y-'dv)^^'
équation à laquelle doivent satisfaire les deux fonctions g et h, encore indéterminées. Mais puisque ces fonctions, soumises jusqu'à présent à satisfaire une seule condition, sont au nombre de deux, on pourra les déterminer de plusieurs modes, dont il y a seulement deux qui méritent d'être examinés ici. D'abord, on pourra établir la condition
dq , dh
y^^Ay^d-v-""
qui entraîne immédiatement celle-ci:
dy^ dy dy,, dh „ ' dv dv du dv
Ayant détenniué les intégrales particulières v/j et y^ de manière à avoir: dy, di/,
y^ dv y^d^ ^ ^'
PiTmiî'i-e Partie. Livre I. 39
les deux équations, dernièremeut mises en évidence, conduisent à celles-ci:
dg dv
d'où l'on tire, en nommant f/^ et Ji^ les deux arbitraires,
9 = 9 a —jy-i^dv; h = li^ +J j/^Ri/v,
et encore :
(25) p = //0//1 + ^'oi'-2 — 9iJ 92^'<fi' + yjvx^'^^'-
Par l'hypothèse admise, qui fut établie par Lagrange, non seulement la fonction p elle-même prend la même forme, soit que la fonction R soit égale à zéro, soit (|u'elle ait une autre valeur, mais il en est de même (|uant à la première dérivée de cette fonction. C'est aussi à cette hypothèse que l'astronomie képlerienne doit son fondement théorique.
L'autre hyjjothèse qu'il y a lieu à examiner, est dès le début plus générale. En désignant par X une fonction, encore tout à fait indéterminée, nous allons mettre:
dq , dli ,
■^' dv ' ^^ dv
relation qui entraîne la suivante
dX
'hh ^l f 'i^ ^^ ^ "L'I 4. Ji dv dv dv dv dv
De ces deux équations, il s'ensuit:
dv
dh
d'où l'on tire
' dv
dv
!/,?. —fy^M'V; h = h^ + y^X -\-Jy^Bdv.
En formant, avec ces valeurs de // et de // , l'expression de l'intégrale générale, on retombe sur la formule (23), (jui ainsi est indépendante de
40 Traité des Orbites des Plauètes.
toute hj^pothèse relativement à la fonction À. Mais, à ce i[m concerne l'expression de la première dérivée de la fonction p , on aura maintenant un autre résultat, à savoir:
au av dv
Bien que cette formule soit un peu plus compliquée lorsque J est différent de zéro que dans l'hypothèse de Lagrange, il paraît cependant avantageux, pour ne pas dire nécessaire, de déterminer la fonction nommée de manière à rendre les expressions de g et de h aussi simples que possible. Aussi dans la théorie des inégalités séculaires exprimées au moyen de séries trigonométriques, les grands fondateurs de cette théorie, Lagrange et Laplace, n'ont pas insisté sur la condition que les premières dérivées des coordonnées d'une planète aient la même forme lorsque les éléments elliptiques épi'ouveut seulement des altérations séculaires que dans le cas d'éléments constants. C'est tout le contraire: pour exprimer les perturbations séculaires par des termes périodiques, une certaine partie de la fonction perturbatrice, dite partie séculaire, fut retranchée, de sorte qu'on pouvait établir les équations
dv ' dr '
0 et '/'' s'exprimant au moyen d'agrégats de termes sousélémentaires du type [A) et du premier ordre.
Examinons si ces -démarches étaient conciliables avec l'hypothèse 1 = o.
Si, dans ce but, nous introduisons les valeurs de -^ et -r- dans les équa-
au dv ^
tions (26) et (27), il sera facile d'en tirer les résultats (26') 7, = ,/r/;4-y/,^Y'-,
27' iî + = ^' 0 +-^- q'.
^ ' ' dv dv dv
En différentiant la première de ces équations, et eu retranchant le résultat de la seconde, il restera:
, , „ , dJ d(I> d'I'
^ ' dv ' dv ' dv
Premii'ro Pai-lic. Livre I.
Si l'on supposait que les fonctions ?/, et y^ fussent des quantités de l'ordre zéro, et, que (l> et '/' ne continusseut que des termes sousélémentaires du type [A) et du premier ordre, on conclurait facilement de l'équation obtenue que son second membre fût une quantité du deuxième ordre. Or, puisque nous considérons U comme un agrégat de termes sousélémentaires du type {B) et du premier ordre, il faut que /[ soit aussi un pareil agrégat du premier ordre.
Donc, de deux choses, l'une : la fonction  peut être égalée à zéro, il est vrai, mais seulement à condition que les fonctions (I> et ¥ renferment des termes d'un autre genre que ceux du type {A); de l'autre côté, on peut faire contenir aux fonctions </> et V'", ou, ce qui revient au même, aux fonctions y et h exclusivement des termes du type [A), mais dans ce but, il faut, qu'on ait:
Ou tire de là:
valeur qui, évidemment, est différente de zéro.
Si l'on inti'oduit les expressions obtenues de X et de -- dans les formules
dv
(28), on peut exprimer les différentielles de g et h au moyen de la fonction
R. On obtiendra de la sorte:
dVi
ou bien:
dv 2dvr^J \ ^^ do- -^^ dvj ' ■'! '
dg
