Première Partie. Livre III

+ Jçr'-'N'(», I, i) + ^N'(«,2,i), (I)

i (,..-..•,. + sr"--jN'(., . , .) + ^ -.-N'(.,o, 2) + -'N'(«,i,2),

452 Traité des Orbites des Planètes.

+ ^çr>N'(«,o,2)+-^N'(«,i,2),

G(i , 2 ,o ,o,«.)'= çl''-'£l"^"*''-'N'(«,o,o) + i£("->H--'^N'(«, I ,o)

— ; fî'"'£r ''*■■■"' N'(«, o , i) — ' £l"-"^'-'N'(«, I , i)

+ ^fr'N'(«,o,2) +iN'(«,I,2), 4 o

3 xTv

+ -£r''jN'(«.,o,2) + |N'(«,o,3)

l'n'iiiii'ie l':ii(ic. Livre III. 45."

G (o , 3 , o , o , II)' = — s"/ '■' N'(/i , o , o) + ; z7 ■'-■ N'(" , o , I ) s"/'^ N'(« ,0,2)

(j(o , 3 , o , o , II)' = — z;^'-^^ N'(«,o,o)+ ~ j7'--'N'(" ,0, i)— s';*-' -'N'(«,o,2)

L'argument (Vuii terme avec le coefficient (i(p , p', r , r', «)' t'st, d'après les é(iuations (7'), (8') et (9'), celui-ci:

± (p - 2r)(-- 70 + (p' - 2r')(-' - /") + [n if (p - 2r)) V — (« ± (p' — 2r'))(v' — û)') + n{iô — û)'), c'est à dire:

dans la cumb, (i): (p 2r)(-— /^-(p'— 2r')(-'— i") + (« + (p— ^''O V'

— (" — (p' — 2v')){\' — w) + n{ïô — ô)'). ); » ); (2): +(p^2r)(7r-y') — (p'-2r')(-'— 7") + (« — (p-2r))V'

— (" — (p' — 2r'))(v' — û)') + n (w — w'), » ^> » (3): — (p— 2r)(7r— iO + (p'— 2i-')(?r'— /") + 0' + (p— 2r))V'

iVIais au lieu de ces quatre expressions différentes, ou j^eut utiliser celle-ci :

{n — s)(;r — /') + (s' — n){Tr' — /") + sV — s'(v' — w') + w(â} — w),

qui remplace seule, sans anibiguité, les quatre précédentes. Ayant ado^^té cette expression de l'argument, il convient de désigner le coefficient par le symbole G(p , p', s , s', n)' , analogue à celui que nous avons introduit au n° 97.

454 Traité des Orbites des Planètes.

Quant à ces argumeuts, il faut encore rappeler ([u"on a écrit partout, pour abréger, V au lieu de V + U et, V au lieu de V + U' (voir la remarque qui précède les formules (4 , s , s') du n° 56).

10 1. M. Masal, dans son mémoire: Formeln und ïafeln zur Berechnung der absoluten Stôrungen der Planeten, a exjjrimé les coefficients A( ) et B( ) d'une manière sensiblement différente de celle que nous venons de mettre en usage. Néanmoins, la forme employée par le savant nommé dérive directement des expressions que nous avons mises en évidence. Il suffit, en effet, pour établir la forme de M. Masal, d'introduire, dans nos expressions des coefficients G( ), les développements suivant les transcendantes ;-"''", des fonctions N {11 , s , s'), développements dont le type est donné par l'équation (24) du n° 78; et encore, de remplacer les coeft'icieuts eJ'" et $"'•'' pur leurs expressions dans les n"^ 29 et 30.

Tant que la somme des indices p et p' est un petit nombre, les substitutions indiquées s'opèrent avec une grande facilité, et ou parvient de la sorte à des résultats assez simples ; mais à mesure que ce nomljre augmente, la déduction des formules demandées paraîtra plus laborieuse, sans que les résultats obtenus l'emportent essentiellement sur ceux que nous venons de donner dans les derniers numéros. M. Masal a étendu ses transformations jusqu'aux termes du troisième ordre par rajjport aux fonctions diastématiques inclusi:vement : pour donner un écbautillon de la forme employée par lui, j'emprunte à son mémoire, les expressions des coeff'icients appartenant aux termes du premier degré et du degré zéro.

Les voici :

A(i ,0,0,0, h) =- [{li^ -t- 2») — 2/tY];'o" + -'T'i'")

A(i ,0,0, G, m) = [{n'' -\- 2h) + 2My];-,V" + ->'t\'" ^

(Il

A (g , I , O , G , «) = n (m I ))-l''' 27tf/' ,

A(o, 1,0,0,7/) = — n{sii + i)ri'r" — ^"fi'" ,

Fremirre Partie. Uvre III. 4").')

B(o, 0,0, O, «) = 2>iy];" + 4;-|'",

B(o, I ,o,o,m) = — "(" — ■)/'"'" + ''^?'l'" + ''^ri'",

Pour avoir les formules sp rapportant à la fonction porturbatrice complùte, il faut mettre, dans les expi-essious signalées, ;-,'•' a^ au lieu

de ry-

Si n est égal à zéro, il faut observer que seulement la moitié des valeurs obtenues au moyen de ces formules doit être mise en usage.

Mais il convient d'ajouter aux ])récédentes, les expressions analogues

des coefficients C( ), ce qui nous donnera occasion d'élucider, par un exemple, la manière d'obtenir les formules de M. Masal. Nous avons d'abord :

G(U('rt, 1 ,0) = — {n + 2,)ro" — ^r\'\ «uc^»,o,i)= (» + 2)ri'^- + 2fr,'

formules, où les deux indices v , v' sont partout égaux à zéro et par cette raison supprimés, et où l'on doit mettre yY — a'' au lieu de flf , afin que les R se rapportent à la fonction perturljatrice complète.

Ensuite, nous aurons, par les formules des numéros 29 et 30,

' Los viileiir.': ilnunri's ilaiis lo U'xlc se troiivoiil ilrji'i dans le niémoire de M. Harzkr. On les (Irduit aisrnicnt, en faisant, iisaii;e des rrules ipie nons venons d'établir dans les deux

456 Traité des Oibites des Planètes.

Maintenant, si nous introduisons, dans les cinq premières formules du u° 98, les valeurs signalées, après y avoir remplacé N(w,s,s') par 2R(w,s,s'), il eu résultera:

aC(o,o, 0,0, w) = 2j-l-\

chapitres précédents: je vais en reproduire le calcul pour donner un sjiéeinicn de l'application de ces règles.

On aura d'abord, par la règle donnée vers la fin du n° 79,

.<3'0-.,o,o)= ri'"' />•(., 2,0)= '"^"+'^-:;'" + (2. + 3)r.'"+4^'^

^'(,,,,0,1)= {n. + 3)//' + 2fl-\ Si' (n, 0,2)=. " '^^'^'^-ro" + {2n. + 7)yV' + 4n'''-

Puis, en utilisant la formule (20) du n° 86, ou parvient aux valeurs

a r'{n, 0,0)= yT,

ur\n,0, l) = (il + 2)yl'"- + 2yY\

ar\n , I , I) = {n"- + 3», + 2)/,'" — 2{2n + 5);-^'" - 8^''",

ai\ii,o,2) = -^ — ri'" + {2n + s)rv + An >

au moyen desquelles on obtient, par l'équation (26) du u° 87, les résultats signalés dans le texte et encore les suivants

«R(w, I , I) = — («' + 5« + 6)rT — 2(2)1 + 7)rl'" — S;-?;", «R(»,,o, 2) = >^' + 3» + 2 ^3,„ ! ^^^^ ^ çj^,j,« ^ ^^Y,

qui ne diffèrent de ceux de M. Harzer que par la notation des transcendantes jY ; en effet, il a écrit «;-','" au lieu de ;-,'"

Première l'iulie. Livre III. 457

(Il

aC( I , o , o , o , «) = — [n + 3 — 2/;^^] ;-;','" — 2fl-" ,

(■-•) otC(i ,o,o,o,«) = — [tt 4- 3 + 2nç]f,l'" — 2;-i''",

(1) ctC(o, I ,0,0, h) = [ — n + 2] ;-■;•" + 2J--1'" ,

(SI aC(o, I ,o,o,'«) = [31/ + i]-^'^-" + 2j-'l'".

Lors(|iie n est égal à zéro, la transcendante y','" (^loit être changée en -j^,'" — a'\ et les formules indiquées divisées par 2.

102. Les différentes synechies étant des agrégats périodiques, on peut les représenter moyennant des produits de deux facteurs dont l'un reste toujours, sauf dans les cas exceptionnels, positif et plus grand que zéro, et l'autre est une fonction trigonométrique ayant pour argument initial un nouvel agrégat périodique.

Pour y parvenir, supposons qu'on ait exprimé les huit fonctions ;ycos(7r — F), ly sin (tt — F), r/ cos{~' — /''), :y' sin (-' — /''), Icos{ii — 0), /sin(ij — 0), J'cos(i^^' — 0') et l'm^^ii' — 0'), dont les quatre dernières apparaissent dans les expressions des fonctions (l>^ , (I>^ , <l).^ et <l>. cpie nous avons introduites dans le n° 93, moyennant les formules (19) du n° 9 et (48) du n° 23.

Rappelons-nous ensuite que l'angle V est donné par la formule

V = (f{v — w) + L = f{y — ôj) + L, et l'angle oj par celle-ci:

to = c(r — .1) + /';

nous aurons, par rousé([ueut, en admettant la notation

^ d'où

- = s — se

;io) A=- s(i — ç) — i-'/i(i — ç').

Traité des orbites absolues.

la relation

Traité des Orbites fies Planètes.

.s'(v — G)) — s'V = — — ((; — io) — s'\

= Iv + -^/l ^'^r— s'L.

Après avoir ainsi détermiiu' la partie principale de rargnment, on parviendra à représenter la synecliie des indices .s et s' par un résultat de la forme

les «j , «., , . . . ainsi que les o', , ^^ , . . . étant de petites quantités constantes de l'ordre des forces perturbatrices, dont les premières sont encore multipliées par certaines puissances des coefficients diastématiques et anustématiques, et les Z», ,/>.,,... , des angles constants dépendant de .1 , /]', F, F', Q et 0'.

Mais l'expression (12) se réduit en un seul terme, en appliquant la méthode de transformation indiquée dans le n° 6. Soient en effet:

£ COS â =

£ sin â =

rr, — a

nous arrivons facilement aux résultats

(14) Zi^ = £ cos((/ + rr)v + h + 0),

ou bien

Zv = £siu((A + ^)?' + h + â):

Première Fartie. Livre IIJ. 459

, , ,, . , discoaff) . ilisHhi fi) . , ,

et iiiMis sutiposou.s (lue les (UTivces ' et -^—, fsou'iit cU' iJL'tites

' ' ' dv dv '

(luiuititôs (lu deuxième ordre ])in' ra[)])()rt ;iux forces troul)l;intes, vu ([u'untrc-

raent lu traiisforraatioii serait sans succès. Evidemment, les constantes rr

et b , dont nous supposons la première du même ordre que les o-, , ct.^ , . . .

pourront être choisies de manière (jue 0 devienne exempt, soit du terme

constant, soit du terme séculaire.

Par ces suppositions, on comprend aisément que le j)remier terme du

second membre de la formule

(15) /c eos((^ 4- ^),; 4- /, + i})dv = j^sin ((A + t)o -\- h + Û)

-^ f.iu{(?. + a)^, + ù)'^^do

À + (T J ^ ' dv

À + (T I dv

l'emporte beaucoup sur la somme des deux derniers, tant que À est une quantité de l'ordre zéro; c'est-à-dire notablement plus grande que a, en sorte que ce terme donne une valeur approchée de l'intégrale proposée. Les deux derniers termes sont en effet, on l'entend facilement, des quantités du deuxième ordre. Mais si au contraire, X était aussi une petite quantité, comparable à o-, , t^ , . . . , le premier terme du second membre ne donnerait plus la valeur appi'ochée de l'intégrale. Pour parvenir à une vraie approximation dans un tel cas, il faut d'autres méthodes d'intégration; et avant tout, il ne faut ])as alors oublier que l'argument renferme le terme — s'U. Ce que nous venons de dire s'applique aussi à la formule

(15') fs Siu ((A + rr}V + h-{-())(h = — j^ cos ((/ -}-^)v + b + 0)

Le premier terme du second mendjre donne encore la valeur ap])rochée de

riutcgrale formant le premier membre, toutes les fois que X est notablement plus grand que les o^ , rr.^ , . . . . On aura également:

(16, a) f<Iv j\ co^{{X + <7] V + h + â)(h^

y(£cos/y),,,.

—, / sin (U + ^)" + à)^ ^dv

a)' I ^ ' dv

ainsi i[u'une ftjrmule analogue exprimant la double intégrale sur la fonction

£ sin ((A -\- (r)v -]- b -{- â), savoir

(16, b) /"'^"j'^ '^'" (''^ + ff)'' + ^> + ^^)

+ jy:^. /^sin ((A +.). + /; + ^) "^^^ dv (^' + '^) J

+ wh^'\'-<^' + ^^^- + ' + ')— a

dv l (s siii 6)

/. + <T ] I ^ dv

Premioie Paitie. Livre III. 401

Dans les seconds mcinhrcs de ces fiinnulcs, les termes affectés de la

sit;-iie j sont ('\ideiiiiiieiit des (|uantités du second ordre, supposé toujoui'S

(|ue ?. soit une (juantité de l'ordre zéro.

De ces résultats, nous allons tirer une consé(|uence importante.

En multipliant l'éc^uation (15) p;ir la (piaiitité cpii apparaît, dans son

[)reuiier membre, sous le siyne / , il viiMidra:

(17, a) c cos((/', + ff)v + A + Û)fs cos((/ -{- rr)o + Ij -{- Û)i/r

les termes qui ne sont pas mis en évidence étant (Ui troisième ordre. Nous aurons de même:

(17,])) s sin {(X + fT)v + b + 0) fa siu {(k + ^)/' + A + 0)di)

= — ^ j^sin 2((/ + ^)^; + /> + ft)

et encore:

(1 <S, a) c sin ((/ + n)o + Ji + fi) fdo fs cos (fA + rr) n + I> ^ (f)dv

= — ' Tj-r-v^'^'" -('^' + 'T);' + /> + II]

(18, 1)) £ cos((/^ + ^)'- + /> + II) fdr j'i sin ((/ + ^);' + /> + ^^)r/r

i'uisipie k's premiers termes de droite, dans les cpiatre l'orniules (17, a), (17, b), (18, a) et (18, b), ont pour argument le double de {X -\- a) v -\- h -\- 0 , et que les termes su])primés sont toujours du troisième ordre, on conclut

462 Traité des Orbites des Planètes.

que les termes sousélcmentaires qui peuvent se produire dans les seconds membres sont tout au moins du troisième ordre.

On jxu'vient à un résultat analogue eu examinant la question suivante.

Supposons d'abord qu'il s'agisse de déterminer une quantité R par l'intégration de l'équation

(19) ~! + (i —i3,)n = s cos((;. + n)v + b + â),

s , À , (7 , h et Û ayant la même signitication qu'auparavant, et y3, , celle d'une constante du premier ordre On en tire, après avoir posé:

(20) n =-- ^^^^^(;^^.cos((/ + 0)0 + /> + û) + ç^

l'équation que voici:

/ N <'''<f , / n\ 2O. + ff) ■ ,, , , ,^./(eeos^)

fr'(cfos^y)

,vcos(a 4- 't)^ + Z/)-

Kn intégrant cette éipiation, il viendra, relativement à ^^, si Pi n'est pas trop près de l'unité, de sorte que i — ^ yî, — (A + ^)^ puisse être considéré comme une petite quantité du premier ordre, un résultat du deuxième ordre.

Admettons ensuite qu'on soit obligé de former le prodidt de la l'onction R par le facteur

Q = Csiu((Â + ^);> + i, + â^),

C étant un coefficient variable de la même nature que s , et h^ ainsi que ^, , des quantités peu différentes de b et de Û, de sorte cpu' la ditt'éreuce

Première l'iutic. Livre III. 4G3

(|ui est exempte de terme séculaire, ])uiwse être considérée comme une (|iiantité du premier ordre.

En effectuant la multiplication, il viendra:

+ sin (A, — h + (\ — 0)\ + ^<sin((A + o)v + /;, + 6,),

résultat qui montre qiie les termes sousélémentaires, se produisant dans l'expression de TK^ , sont tout au moins du troisième ordre.

103. Il convient de considérer en particulier la synecliie 2lv , et de la réduire à la forme fondamentale.

Prenons d'abord l'équation (6), et introduisons y:

ce qui revient à mettre :

Il s'ensuit la condition

à laquelle sont assujettis les quatre indices p , r , p' et r'.

Evidemment, en attribuant à n les valeurs 0,1,2,..., on aura:

pour « = o: ]) = 2r -}- I ; p' = 2r',

» Il = 2: p = 2r + I ; p' = 2r' + -,

etc ,

4(54 Traité des Orbites des Planètes,

et ]'é(ju;iti()u (6) prend maintenant la forme suivante:

(22) N == ZZZZ(- ir^'i^(2r + I , 2r', r , r', o),,r/^+'+^V/='-+^"- .

sm ' ^ ' '

+ 2Z2:ZZ(- irS(2r , 2r' + i , r , r', iX,,r/'-^=V/-"-+'+-'

+ 2i;Z2:r(- 0"<>(2V+ ■ , ^r' + 2 , r, r', 2)„,,ry-+'+'^V/'-"-+'^^'^'

+ 2ZZZZ(- ir<^'(^'- + 2 , 2r' + 3 , r, r', sX.T' ''''>r''''''

Cela étant, nous allons mettre en évidence les ternies, jusqu'au troisième degré inelusivement, faisant partie des fonctions -(i — ;^^)P"" et

-Q'"'. J'écris ces termes de la manière suivante:

(23) ^7(.-xy=)2:y(P'"))

jii) ,(1) (1) \

= l B(i ,0,0,0,0),,,,^ + Uî(3,o, I ,o,o)„„ — B(i ,o,o,o,o),„! rf'

+ \B(i ,2,0,1 ,o)„„ + B([ ,0 ,p,o,o)„^il lyî^'^i cosF

jC2) ,(2) (2) ,

+ iB(o, 1,0,0, l)„(,y/ + U3(2 , I , I ,0, i)„„ — B(o, I ,0,0, i), J -yy'Y

+ (b(o,3,o, I , i)„,„ + B(o, I ,0,0, i)„,,) y/-^jcos(F' + V — v')

+ B(l ,2 ,0, o,2)„„y;y/^ eos(2F' — F + 2(v — v'))

l'icniière Partie. Livre III. 465

(24) JAZKcr) = rA(i,o,o,o,o).,,„^

lO) (I) ï

+ \A(i , 2 ,0, I ,o)„^o + A(i ,o,o,o,o)„,l rjr/'- is'm F

\A(2 , I , I ,0, i)„^o — A(o, I ,0,0, \),,Jrj'Wj'

+ \A(o,3,o,i ,i)„o + A(o, 1,0,0, i)„^,)jy"'(sin(F'+v — v')

+ A(i ,2,0,0, 2)„„;y)y'^siu (2F' — F + 2(v — v')).

Dans ces formules, F et F' désignent toujours les arguments diastématiques des deux planètes.

Mais les termes que noiis venons de trouver, soit dans l'expression (22), soit dans les formules (23) et (24), ne sont pas encore au nombre

complet; c'est-à-dire: outre les termes mis en évidence, il y a encore des

—1,0 termes du même genre appartenant à la synecliie Sy . En ne considérant que les termes de cette synechie, nous aurons:

. (22 -) N = ZZZZ(- 0-G(2v + 1 , 21-', y , !•', o)„,,^'^'+'+-^--+-^"

X'"'[7r — r— (v-c5)] sin '- ^ ^-'

+ 22:ZZS(- i)'(i(2r + 2 , 2r'+ I , r, r-, i),,^^'-+'-'+'^V/^^'^'+'-'"'

^ sin t'(^ - ^') - (^' - ^") - (" - '''^ + ''- ''''^

+ 2rZZZ(- >r<'U2r + 3 , --r' + 2 , r , r', 2)„,,^^'-+'^^=V/='- ■ ^+="

cos Xsin

Traité des orbites absolues.

466 Traité des Orbites des Planètes,

d'où l'on tire, comme auparavant,

(23-) ■;^(i-^=)2:.(P'"^)= rB(i,o,o,o,o)„,„^

Ai) (2) . I

+ lB(i,2,o,i,o)„„4-B(i,o,o,o,o)„,)y;ry"|cosF

+ B(2,i,o,o, i)„,„r;Vcos(2F — F'— (V — V')), (24-) J-^ rKQ"")=-!A(i,o,o,o,o)„.„ry

+ IA( 1 , 2 ,0, 1 ,0)0,0 + A( 1 ,0,0,0,0)0,,! y^r/ ') sin F

— A(2,i,o,o, i)„,or/)7'sin(2F — F' — (V — v')).

En opérant de la manière que je vais indiquer, les quatre formules (23), (24), (23 — ), (24 — ) se réduisent à la forme fondamentale, ou plutôt à une forme qu'on peut appeler forme fondamentale généralisée.

Nous connaissons déjà les valeurs

(a) 7iCosY=p; ^y sinF = -;j^ - (P.).'

p étant placé au lieu de (/>); il s'ensuit immédiatement un résultat de la forme

(/5) v' = r'' + (;!!^)'^-\-if^y

L'expression de (/i) étant celle-ci:

' Voir le n° 70.