Première Partie. Livre IJI

on en conclut que (//) est une quantité du premier ordre et du deuxième degré.

Mais puisqu'on a:

rf' + rf' cos 2F = 2^^, on obtient ensuite :

(r) ^^ cos 2F ==/>^ -(!)-(/.).

Aux relations (ot), (/î), (;-), se joignent les suivantes (jui ne sont, toutefois, que des simples conséquences des premières:

{à) ^^sin2F = -2^J-2^(;),

(e) ^^cosF= ,> = ^,^ + ^(J;;)V,«(/z),

On comprend sur-le-champ que les formules mises en évidence restent en vigueur, si l'on y change: p en />', v en v', F en F', rj en ly', (A) en (A') et (/i) en (//). Par cette remarque, on déduit les expressions que voici:

ryr/'^ cos F = p[ir^ (^l^y^J !- /.(//),

468 Traité des Orbites des Planètes.

-p{fï) + 2p''^{X) + 2^'|(r) + 2p'{^){X']

dans lesquelles ou peut changer, simultanément, p en p', p en /> , v en v', v' en V, etc.

Après avoir établi ces formules, nous allons d'abord réunir les termes appartenant aux deux syuechies considérées. Nous aurons de la sorte les résultats que voici:

(25) ^^(i-./)|2:.(rn + i:Knl = [iv;:)y + ^'^;i^^ + Z'\:i^>j'^]cosF

+ [<1 r/ + «,>; V/ + ii;j,7y'^][cos F' cos (v — v') — sin F' sin (v — v')] + ^■M^'^y^'^T'^"'^ (^F — F') cos (v — V) + sin (2F — F') sin (v — v')] + ^A>///"[cos(2F' — F) cos 2(v — V') — sin (2F' — F) sin 2(v — v')],

(26) ^-^jZv((.r) + 2:I(Qn|

= ["!m 5^' + ^''-^y^i^^l' + "n',3^'"][^iîi f" cos(v — v') + cos F' sin(v — v')] — «■.j"5y'''->y'[sin (2F —- F') cos (v — v') — cos (2F — F') sin (v — v')] + "i/i 5^ '?'"[*'» (2F' — F) cos 2(v — v') + cos (2F' — F) sin 2(v — v')],