Première Partie. Livre III

X JC0!S(7< — l)(v — V') + C()S(«. + l)(v — V')}

X { sin {n — i )(v — v') — sin (m + i )(v — v')}

— 253' V |P'(w ,0,0) + P^rt , 1 , o)p + P'(« , o , i)p'\ co.S'h(v — v').

Dans cette formule, il faut maintenant introduire les expressions de

1^1 ,1'^' 3 j^» ^tc, que nous avons données par les équations (20) — (26) du

n° 61 ; mais puisqu'il ne s'agit de trouver, finalement, que les termes, ap-

partenant aux synechies 2y et Sy, qui .sont multipliés par tj ou par rj' , nous cherchons à exclure, dès l'abord, les termes uon-coordonués, en opérant cette substitution simultanément avec les multiplications par les fonctions trigonométriques de v — v'; ce qui nous permettra de choisir, d'abord, les valeurs utiles de l'indice n.

En multipliant les équations mentionnées tout à l'heure par e""^^'>^ il viendra immédiatement des résultats dont les différents termes se mettent sous la forme générale

n étant un entier positif ou négatif, et les ^, des fonctions dépendant d'arguments à longues périodes, arguments qui ne peuvent pas déranger les indices des synechies qu'on obtient en effectuant la transformation à la forme diastématique.

Or, il s'agit d'établir la forme mentionnée, ce qui s'effectuera très facilement, lorsqu'on ne demande que les termes multipliés par tj ou rj'. Dans ce cas, il suffit de remplacer les facteurs e''"'"'" *'"*"' et e'"'"'"^' par les expressions que nous avons données dans les équations (3g, a) — (39, n) du n° 63. Mais en inspectant ces expressions, il se montre que .seulement les équations (39, b) et (39, c) renferment des termes appartenant aux synechies dont il s'agit; c'est-à-dire qu'on n'aura des tei'mes de ce genre que si l'on attribue à n les valeurs i et — i . Pour mettre en évidence ces termes, il faut donc, en Hup[)riinant les termes inutiles, partir des expressions

470 Traité des Orbites des Planètes.

,<2 iXï-y')

-W')-2i*'+JCv+ï')

\dvj 2 ' 4

„'„2hï-t) ' 7-r» i(J'-'-ty)-i(J-'-«')+'(5->r) + i(v-v')

" dv 4 '

auxquelles il faut ajouter les formules (22) et (25) du n° 61, qui sont dès le début mises sous la forme que demande l'application des équations (39, b) et (39, c).

Considérons encore les quatres fonctions

<p étant toujours une fonction dépendant d'arguments à longvie période.

Par les équations (40, a) — (40,0) et (41, a) — (4i,n) du n° 63, il est visible que sevdement les expressions />, /je*^", /)'e*"*~" et /j'e*'""^'* donnent naissance à des termes ajjpartenant aux syuechies indiquées. Voici les termes de cette forme se produisant par la multiplication des facteurs mis en évidence dans les premiers membres:

^,,2g-.i(v-V) ip2g-2.(//-y')-2»r^g2iv^

^>5^ = — - ;7^e--"-'--*"-="Ve'-'^- + - /JV"'-

2„2i(.'.'-tf) + 2iï/ ,

-^(ij = >^' + ~ /v-'^-'^>-'Vr'' + ^iv^'^-^^^-V-