Première Partie. Livre III

d'où l'on conclut, immédiatement, que ([> contient un terme sousélémentaire du second ordre et du type (7?), terme qui devra être réuni au.x autres de même espèce.

Mais à cette place, il me faut reproduire une remarque que j'ai faite déjà dans mon mémoire ))nouvelles recherches etc.)), § 5. La voici:

En abordant les appro.ximations successives (pour obtenir les intégrales des équations semblables à celles que nous allons établir dans le livre suivant) par l'intégration d'une équation linéaire ou bien, ce qui revient au même, d'un système d'équations linéaires, on n'arrivera pas toujours à des résultats satisfaisants. Et même, si en partant d'un résultat obtenu par l'intégration d'un tel système, on continue, d'une manière conséquente, les approximations successives, on tombera tôt ou tard sur des développements divergents. Il en est autrement quand on commence par l'intégration d'un système d'équations, chacune du troisième degré: on pourra alors, sauf dans des cas exceptionnels, réduire de telles équations à des équations linéaires et horistiques, après quoi on arrivera, en les intégrant, à de véritables approximations. Ayant obtenu des résultats de cette qualité, on déduira de proche en proche les expressions des quantités cherchées avec une exactitude aussi grande qu'on voudra.

Voilà la raison pourquoi j'ai donné beaucoup de soins à mettre en évidence les termes du troisième degré: ils devront dès l'abord entrer dans les équations différentielles, et il importe de les avoir mis .sous la forme la plus convenable.

Mais jusqu'à présent, je n'ai traité que les termes faisant partie des équations qui serviront à déterminer les fonctions (/>) et [p'), termes que j'ai appelés, au n° 62, termes à caractère diastématique. Quant aux termes à caractère anastématique, c'est à dire les termes qui entreront dans les équations destinées à la détermination des fonctions (3) et (3'), on les dédiiira, en temps et lieu, très facilement des développements donnés dans le numéro cité.

109. Il convient d'ajouter quelques remarques relativement au nombre des arguments fondamentaux entrant dans le développement de la fonction perturbatrice, ce développement supposé mis sous la forme diastématique.

En exprimant les fonctions (/>) et (/>') moyennant les arguments diastématiques, et cas H par la formule (15) du u° 53, les arguments entrant

Traite des orbites absolues. (J3

498 Traité des Orbites des Planètes.

dans la fonction perturbatrice seront, sauf ceux qui pourront se trouver

dans les expressions de >j , )y' et siu - J^, au nombre de quatre, savoir:

V ,F', V — 1' et v' — i", ou bien: F ,¥', x et y, si l'on veut remplacer les angles v — i' et v' — 2" par leur différence et leur somme. Mais ces arguments fondamentaux, étant transformés et combinés les uns avec les autres, de manières très différentes, on n'a pas toujours eu soin «de relever la propriété des inégalités planétaires d'être liées aux arguments se composant de quatre éléments. Mais à cette omission contribuent encore d'autres motifs.

Ayant remplacé les arguments F , F', v et v' par les longitudes moyennes des planètes et des périhélies, on a eu effet mis eu évidence six arguments distincts, qui se réduisent, toutefois, sur-le-champ à cinq, et qui doivent être calculés séparément. C'est seulement M. Lindstedï qui, dans un mémoire renommé,' a tenté d'exprimer, moyennant quatre arguments étant des fonctions linéaires du temps, sans intermédiaire des longitudes astronomiques, les distances mutuelles des trois corps, c'est à dire les quantités d'où dépend la fonction perturbatrice. Mais M. Poincaré, à diverses reprises, a montré que les séries résultant des procédés de M. Lindstedt ne sont pas convergentes dans le sens rigoureux du mot. Pour une solution absolue du problème des trois corps appliqué aux théories des planètes, la seule dont nous nous occupons dans l'ouvrage présent, la méthode de M. Lindstedt ne paraît donc pas convenir. Il semble au contraire presque prudent de ne pas sortir des notations usuelles, où sont mis en évidence les arguments astronomiques, notations qui d'ailleurs n'augmentent pas d'un seul le nombre des inégalités.

C'est M. Weiler qui, le premier je crois, a prononcé expressément la nature des arguments, entrant dans le développement envisagé, d'être composés de quatre éléments ou arguments fondamentaux.'

Si l'on passe à la forme diastématique, et que l'on compte les longitudes des noeuds sur un plan fixe dans l'espace, le nombre des arguments fondamentaux sera encore six, nombre qui s'abaisse sur le champ à cinq, et qui se réduit ultérieurement à quatre, si le plan invariable des trois corps

' Voir le mémoire de M. Lixdstedt inséré dans les astr. Nachr. T. 107.

'' Voir les notes de M. Wer^eh inséré dans les astr. Nachr. N° 2515, 2516 et 2762.

rremièic Partie. Jjivrc III. 499

est pris pour plan foiidamontal. En inspectant les développements donnés dans le livre présent et dans celui qui précède, t)n trouvera en effet que les si.K arguments sont d'abord, v , /'', (o , o)', H et H' , au lieu desquels on a admis, toutefois, ceux-ci: v , v', îï) , iô\ l'J et If', isocinétiques avec les premiers et ne différant d'eux que par les agrégats périodiques G et G', en sorte qu'on a: v = v — G, etc.

^lais ces éléments, c'est à dire, les v , v', . . . n'entrent dans les divers arguments que par leurs différences. En effet, chaque argument apparaissant dans le développement de la fonction perturbatrice, .s'exprimera, on le voit facilement, par la formule

Arg. ^ s(v — â>) — s'V -\- \{û> — ,v) -f i'((T/ — //') + iiiQj — ,v'),

où l'on a désigné par s , s', i , i' et w des entiers positifs ou négatifs, où V remplace la dift'érence v' — îô' , et où finalement on a mis de côté les agrégats périodiques - — 7', -' — i", etc. Dans le cas de trois corps, la différence ë — ]j' devient égale à zéro ou plutôt à un agrégat périodique, si l'on choisit le plan invariable pour plan fondan)ental, et on sera l'éduit il. quatre arguments. Dans le cas do plusieurs corj^s, par contre, on ne saurait faire disparaître les différences J) — ,'j' à l'exception d'une seule; mais cette simplification n'étant pas de grande importance, il convient mieux de fixer la position du plan fondamental par d'autres motifs que par la condition qu'une des différences 8 — ('/ disparaisse. On pourra donc prendre l'écliptique fixe à une certaine époque ])our plan fondamental, ce qui amènerait quelques avantages aux calculs astronomiques. Le nombre total des arguments fondamentaux d'où dépendent les inégalités des planètes principales, dues à leurs actions mutuelles, est doue égal à 3.8 = 24, ou bien, si l'on veut, égal à 3.8 — i ^ 23,

Le Verrier, dans les théories de Jupiter et de Saturue, a employé les arguments fondamentaux

0 + r — 1' , r', 0) + ï' — i: , 0)' et — 2 2",

ou plutôt des arguments variant proportionellement au temps, mais isocinétiques avec ceux-là. Dans le cas de trois corps, le nombre des arguments fondamentaux n'excéderait pas celui qu'on aurait trouvé en employant les angles signalés précédemment. Mais déjà dans le cas du soleil et de trois planètes, le noml)re des arguments fondamentaux de Le Verrier est

500 Traité des Orbites des Planètes.

plus graud que celui des nôtres, et ce nombre croît avec celui des planètes. L'ensemble des arguments figurant dans les développements que j'ai exposés dans ce qui précède, paraît donc l'emporter sur le sj'stème employé par Le Verrier, du moins lorsqu'il s'agit des inégalités d'un ordre j^lus élevé que le premier. Voilà la raison pourquoi je compte les angles v , (o ei&, ou bien v , cô et ?>, d'une direction légèrement variable et différente pour les diverses planètes.