Livre III

cos F',

-,ii^"(i'0.

1 ) COiS (F' —

i) siu (F' —

etc.

11 iR' paraît donc pus nécessaire de citer, à cette occasion, les t'oriniiles s'y rapportant. Mais eu revanche, il ne faut pas passer sous sileuce la remarque que les synechies des indices i ,o et — i ,o se mettent sous une forme parfaitement analogue à celle des équations (37')> (38') et (39')- Ou déduira en effet facilement les formules

{'^D '^\i-^-')Tv{V'''h)== .,[-]//:, + J,0, + AJl^ + A,.;\

+ ri'\B„ <K + B, <l>, •+ /?., <K + /i, .A,

+ iUK <K + iK <i\ + iK , + T\ ,\

où l'on a employé, en analogie avec la manière d'écrire les équations (37'),

i,fi (38') et (39')> l'i notation abrégée T.v{X) au lieu de la notation complète

Yv{X) + Yv{X).

En substituant, dans les expressions signalées, les valeurs des quatre fonctions 0^ , . . , (/l^, on retombera sur la forme des équations (31), (32)

et (33).

Quant aux fonctions A^ , A^, etc., on les déduit facilement d'une ma-

nière directe, ayant dressé uu tableau des valeurs de 2v(li) , ziv{p), etc.,

tel ([ue nous avons donné précédemment des valeurs de Z-!;(li), etc., ce

Traité îles Orbites des Planètes.

qui s'effectuera presqu'iramédiîitement en vertu des équations (34) et (35). Mais on pourra aussi, les équations (31), (32) et (33) étant données, en tirer non seulement les fonctions A^ , A^ , . . . , mais encore les quatre fonctions (p^ , . . , .^. Nous ne nous y arrêtons pas à cette occasion.

107. Les expressions (37) — (39) et (37') — (39') se ramènent facilement à la forme fondamentale généralisée : on y parvient en effet par la simple remarque que nous allons signaler.

Nous n'avons pas, il est vrai, mis en évidence la structure analytique de toutes les fonctions A^ , etc., mais nous nous convainquons, par une inspection rapide des formules servant à les établir que leur type général est donné par l'une ou l'autre des formules

A = /„cos(F +£v + £V), B = /jCos(F' -t- £v+ s'y'), C = /, sin (F + £v + sV), D = /^ sin (F' + £v + s'y'),

les /g , . . , l.^ étant des coefficients numériques, et s et s', aussi de pareils coefficients, mais n'acquérant que les valeurs — 2 , — i , o et + i . 11 convient d'ajouter que les A et les C sont toujours multipliés par jy, les B et les D, par 7^'.

Cela étant, si nous rappelons les équations (a) du n° 103, et que nous négligions les parties dépendant de [À), nous aurons:

(II

jyA = /„ cos (sv + s'v')p + /„ sin {sv + s'v') '£ , T^'B = ?j cos (cv + s'v')p' + /j sin (sv -f s'y') ^ ,

y]C = l^ .sin (cv + £'v')/5 — l.^ cos (sv + s'y') -f- , rj'D = l^ sin (sv + s'^"')p' — A, cos (sv + s'v') ^ •

Pn'iuii'-iv Partie. Livre II [. 493

Ensuite, si nous introduisons les valeurs ayant ces types dans les équations (37) — (39) ut (37') — (39')» il résultera des expressions de la forme générale

(40) rv(X) = L,n + Ly + K '^^ + K'^-,

où X est mis à la place des fonctions P , Q et K; s et «' signitient les indices 1,0 ou 0,1, et 1j , L', K , K', des quadrinômes, dont les différents ternies sont des produits d'une des fonctions <Pg , • • , '/'.j par un cosinus ou un sinus de l'argument sv + s'y', ce produit multiplié encore par un coefficient constant.

Dans certaines occasions, surtout quand il s'agit de réduire la fonction perturbatrice à la forme foudamentale généralisée, il sera utile d'avoir exprimé les (p„ , . . , <l>.. moyeunaut les fonctions \ ■, \' , -r et ^ • X 0 ' ' o ./ " '^ ' ((V av

Pour y parvenir, je rappelle les relations

5 = / sin (v — h — {ii — 0)) = /sin {v — »9,),

|=/cos(..-,9j + (C),

la fonction (C) n'étaut pas tout à fait identique avec celle que nous avons désignée par le même symbole dans le n° 23; mais la différence entre ces deux fonctions est toujours une très petite quantité, d'ailleurs facile à mettre en évidence.

Des équations signalées, on tire facilement les suivantes

; sin V + ^ cos v = / cos (&. — G) -(- (C) cos v ,

' dv \ ■ / \ / '

— 5 cos V + --- sin V = / sin {&^ — G) -{■ (0 siu v ; et on obtiendra également:

^' sin v' + -17 cos v' = /' cos (1% — G') + (C) cos v', — 3' cos v' + 7^ sin v' == /' sin (?9; — G') + (C) sin v'.

404 Tniité (les Orbites des Planètes.

Par un calcul assez simple, on déduit de ces relations en négligeant tout terme multiplié par l'un ou l'autre des fonctions (C) et (C), les formules que voici:

//' cos (*, - f}\ - [G - G-)) = (sj' + Jl ^) cos (v - V')

IL' sin (,9, - f}\ - (G - G')) = U + J^ ^) «u (v - V)

^dV ^ (Zv

cos V — V

II' cos {,% + ff[ - G - C;') = - U' -Tvtv) '^''' ^"^ + ^'^

'dv' ' '' d\ ir sin (d, + ,% - G - G') = - (^33' - ;g ;^) «" (v + V)

dv' ' '^ rfv

r cos2(,!/.-60 = 23 I sin .V - (3^ - (!:)"]

/-cos2(,9;-(^')= 25'^sin2v'-(^3-- (;|^)^ j cos 2V',

i'' sin 2(,9; -(?')=- 23'^ cos 2v'—^''— (^^:) jsin2v', formules qui entraînent ensuite les suivantes

Pipmièro Partie. I^ivrc III. 49i;

(4.') ,^ ^3;;^sin2v-i(5^-(;;i)^)cos2v + ;,';;^sin2,

^Vleos2v-

(4.") <!>.= ^U'+|;lt>-(v-v')-3(^|-^';;t)oos(v-v'),

(4.'") ^, = -i4^os2v-'(,5^-(;;;y)sin2v

En substituant ces valeurs dans* les quadrinômes K , K', L et L', on exprimera comme fonctions des quantités p , p' , 5 et 3', les synechies données par l'équation (40); en d'autres mots, on mettra ces synechies sous une forme analogue à celle que nous avons employée dans les équations (27), (28), (27') et (28').^ Cette forme, bien qu'elle renferme les fonctions 3 et 3' ainsi que leurs dérivées, sera toujours appelée forme fondamentale généralisée.

Mais les synechies que nous venons de considérer renferment les termes sousélémentaires du type [B), c'est à dire, les termes devant entrer dans les équations différentielles destinées à déterminer les fonctions p , //, 3 et 3', bien attendu, les parties de ces fonctions que nous avons désignées par [p) , {p') . (,5) et (3').

On exprimera de la sorte, moyennant les inconnues mêmes et leurs premières dérivées, les termes faisant parties des équations nommées.

108. Outre les termes nouvellement considérés, il y en a qui sont coordonnés avec eux. D'abord les termes du cinquième degré qu'il ne faut pas, généralement, négliger, mais desquels on pourra tenir compte dans

' .T'eni[)Inir toujours les notations abrégée.-; f^i , p , l et ^' au lieu de [p] , [p], (^) et (,^).

une seconde approximation ; puis des termes d'un degré impair et plus élevé. Il y a ensuite des termes sousélémentaires du second ordre, dans certains cas acquérant des valeurs assez considérables.

Quant à ces derniers, on les déduira, après avoir établi, sous la forme appelée diastéraatique, les inégalités diastéinatiques du premier ordre, ainsi que les inégalités anastématiques du même ordre, ce qui, dans la plupart des cas, s'effectuera, en procédant d'une manière analogue à celle que nous avons employée dans le u° 102. Or, en multipliant deux séries de la forme diastématique, ce qui est demandé par l'équation (yî) du n° 94, il se produira, entre autres, des termes appartenant aux synechies que nous venons de considérer, termes qu'il faut détacher des autres et réunir, du moins tant qu'ils sont du troisième degré, avec les termes du même genre qui sont donnés par les équations (27), (28), etc.

De pareils termes se produisent encore par des opérations destinées à déterminer les inégalités du premier ordre. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de la fonction W donnée par l'équation

-— = a sm (àv + ?' + ^),

a étant une constante du premier ordre et d, un agrégat périodique renfermant entre autres le terme

(? = ^sin((i —;,)?' + B),

le seul duquel nous nous occuperons maintenant. On y a désigné par y une constante du premier ordre.

Cela étant, nous supposons que W soit exprimé par la formule

Alors, pour déterminer la fonction ([> , nous aurons facilement l'équation

Il s'ensuit, si l'on considère la valeur de ^,

|l' = Hlj^ si,i (Xr + h + d) cos (( I -/)?' + B),