Première Partie. Livre IV

I dsic)

(1 +sy-q

<ii;„

ir).

OU bien, eu introduisant au lieu de (i +5')^ la valeur découlant de l'équation (23), celle-ci:

^ {ry- dv„

[ry

I rfv'W

(-f^.sy(-'?-f

'-K-sfj

3i'iW

2(r) dv, I -f (/5)ciy„ (Zr dv^

(r)- dv„

Dans cette équation, la fonction S se trouve éliminée, mais il y reste encore la fonction ç inconnue. Or, jjuisqu'on a établi la relation (24), on 23ourra mettre, à la place de ç, une fonction qui, du moins quant à sa partie lentement variable, est connue. J'opère l'introduction de la fonction 2S au lieu de ^ de la manière suivante.

Soit T une fonction qui dépend de S moyennant l'équation

, dT

li\ (1+2,9)^'

il s'entend que T , en ne considérant que les termes à longue période, n'est pas beaucoup différent de T.

De l'équation (27), il découle réciproquement le développement

3 dv, "^27 \dv.

243 \dvj + • • • '

qu'il convient de signaler.

Admettons encore la relation

dv„ I + S

(■ + sy

-.Qo + 2N(ii +4.S'Q3 +

les premiers termes du second membre étant la partie de l'expression de

° qu'il convient de considérer ici. Le dernier terme E est ajouté à

l'équation établie pour y transférer non seulement tous les termes à longue péi-iode nécessaires pour détruire les termes de ce genre se produisant d'abord en f, mais encore, pour introduire, dans cette équation, un certain nombre d'autres termes qu'il convient de considérer simultanément avec les termes dont la détermination est notre but principal.

On a introduit, dans le premier terme du second membre, le dénominateur (i + 2S)^, vu que la fonction Q donnée par l'équation (2) du n° 85 est affectée du facteur

Cela étant, si nous différeutions l'équation (27), il viendra:

d'f ds

<^ ■" i + s\ 31 + 2,SV

équation qui en veiiu de la formule (29), et en con.sidérant le développement de S suivant les puissances de -;— , prend la forme

dv^ ^

f^, '^■"^' - .1,1 'S-'ï' , 103 .àTy\- dj[ i3dT

Cette équation n'étant pas entièrement indépendante des fonctions T et /, vu que ces fonctions apparaissent dans les arguments, ou pourra cependant l'intégrer en négligeant, dans une première approximation, ^ ainsi que la différence T — T. On aura ainsi une valeur approchée de T qui s'exprimera, nous le verrons, moyennant une série trigonométrique uniformément convergente. Après avoir obtenu ce résultat, on formera, en

■ Preini('u-e l'artie. Livre IV. 525

retranchant l'équation (X) de l'équation (26), une nouvelle équation du second ordre, où la différence T — T et la fonction ;f entrent comme inconnues. L'une de ces quantités peut être prise à volonté, l'autre se trouve ensuite, en intégrant l'équation restante. (3u y pourra égaler à zéro, soit la fonction ;f, soit la différence T— T : mais on pourra aussi les choisir d'autres manières, ayant toujours en vue de pousser, autant (|ue possible, la convergence des développements.

En ne considérant que les termes à longue période, il est visible que

la dérivée — - doit être considérée coinme une quantité notablement plus

petite que la fonction T elle-même. En particulier, lorsqu'il s'agit des termes élémentaires du type {A) entrant dans l'expression de T, ces termes

deviendront sousélémentaires du premier ordre dans l'expression de y- . Il

s'ensuit que la fonction S déterminée par le développement (28) est, en

général, une quantité peu considérable, d'où l'on conclut finalement, eu

d" considérant l'équation (22), que le rapport ~ reste peu différent de l'unité,

du moins s'il ne s'agit que de termes à longue période. Voilà la confirmation de la loi de Kepler telle que nous l'avons annoncée au n° 25.

116. Il nous faut encore introduire, dans les diverses équations (III), l'argument i\ au lieu de v. Ces équations n'étant toutefois pas réellement distinctes, il suft'it d'opérer la substitution mentionnée dans l'équation qui se prête le mieux à nos intentions, savoir l'équation (IIIJ. En rappelant la relation entre v et ('„, on déduira sans peine le résultat que voici:

(XI) s +

dol

dS l I d{r) dii,

2{c) dv, I -f- 'S'

= (i +5)Mi(^' — ^cos//).

L'équation obtenue doit être divisée en deux autres, dont l'une donne, par l'intégration, les termes élémentaires du type (i/), et l'autre, les iné-

52G Traité des Orbites des Planètes.

galités auastématiques. Dans ce but, cherchons les sjuechies des indices I , o et — I , o appartenant au second membre de l'équation signalée. En vertu du développement

(7) R = IC + ^R'/' cosw + 2Rf cos 2W + ...

+ jR*" + 2RV' cosw + 2R</> cos 2w + . . .}h + ...

on déduit immédiatement celui-ci:

(13) UcosH = Rf' + (R<»» + Rf ) cos w + (R'i»' + R^"') cos 2w + ... + jR'/' + Rr + (R!," + Ri" + 2Rn cosw

+ (RV' + R^'^ + 2Rf) cos 2w + . . . }h + ....

Mais les coefficients des développements (a) et (/9) sont des fonctions de (p) , (/?') , )y^ et r/''. En introduisant les expressions de ces coefficients, lesquelles s'obtiennent facilement en considérant l'équation (25) du n° 87, en négligeant les termes surpassant le second degré, et finalement, en admettant les notations

2ff\ I , S , ^'\^y = R''(0 , S , s').,,/ + R"(2 , s , s').,.- ,

^'(0,S,S')..y = 2R'(I,S,S\, + R"(0,S,S%„., 2r/'(l,S,S'X,y = 2[R'(0,S,sV + R'(2,S,sV + R°( 1 , S , S')„„] , 2^'(2,S,SV = 2[R'(I,S,SV + RX3,«,S').,. + R°(2,S,S')„,„],

etc.,

Preinièie Partie. Livre IV. 527

les développements (a) et (/9) se clKuiyent en ceux-ci:

(r) J R = K"(o,o,o)„,„ - ir(o,o,o),,„r/^ + ir(o,o,o).,,,r/'^

+ u°(o,i,o)„,„(^.) + ir(o,o,i)„,„(/y)

+ R\0,2,0\,[pf + ir(0,M,),,„(/.)(^/) + ir(0,0,2)„,„(^/)'^

ir(i,o,o)„,o — ir(i,o,o),,„^'^ + K"(i,o,o)„,,x/'^

+ 2. +K''(l,I,o)o,.(^>) + ir(l,0,l)„,„(^/)

. + iv{i,2,o\,{py + ir(i,i,i),,„(^>)(^/) + ir(i,o,2X„(/ + . ..

+ 2{R'(0,0,0)„„ + 2R'(l,0,o)o„COS\V + 2li'(2,O,o)„„C0S2W + . . .jh

{f}) jRcos/f = E"(i,o,o,)o.o — R°(i,o,o),,„ry'^ + R"(i,o,o)„,,r/'^ + R»(i,i,oV„(^.) + R°(i,o,i)„,„(//) + R°(i,2,o)„,„(^>)^ + R''(i,i, .),,„(/.)(//) + R''(i,o,2)„,„(^/

,(/°(i,o,o)„,„ — //V,o,o),„y/ + //''(i,o,oj„,,r/' + .V"! I , I ,o)„,o(av) + l/\ 1 ,o, I )„,„ (/>') + ^»(l,2,0)„,„(/,)=+^\l,I,l)„,„(/,)(^y)+^»(.,0,2),,„(^')'l

+ {i'Xo,0,0)„„ + 2^Xl,0,o)o,„COSW+2^'(2,0,o)„„COS2W+...jh

En multipliant les expressions (;-) et (à), la première par j', et la seconde par 3, nous aurons, sans compter le facteur (i + Sy, les deux produits qui forment les termes du second membre de l'équation (XI). Il s'agit d'en séparer les termes élémentaires du type (B).

528 Traité des Orbites des Plauètes.

Si l'on ne met eu évidence, dans les produits nommés, que les termes jusqu'au troisième degré inclusivement, ou en pourra distinguer trois groupes: le premier contient les termes du premier degré; le second, les termes du second degré par rapport aux fonctions diastématiques et du premier degré par rapport aux fonctions anastématiques; les termes du troisième groupe finalement sont indépendants des fonctions diastématiques et, en conséquence, du troisième degré par rapport aux fonctions anastématiques.

Quant aux termes du premier degré, on consultera d'abord les formules du groupe G du n° 6i, d'où l'on tire:

Zv {]' cos w) = - /' sin (v — //' — Q' -\- 0')

= ^ /' sin (v' — ^' — i2' + 0' + V — v'),

formule qui s'écrit, en uégligeant la fonction (C), de la manière suivante:

2y (,V cos w) = - ]' cos (v — v') + - --, sin (v — v').

On voit maintenant que les termes du premier degré qu'il faut placer au second membre de l'équation (XI) sont ceux-ci:

{e) j^ ! — ir(i ,o,o)„,„5 + ir(i ,o,o)„,„3' cos (v — v')

+ R«(i,o,o)„,„|,sin(v-v')j.

Les termes du second degré par rapport aux fonctions diastématiques se produisent seulement des parties de R et de Rcosw qui sont indépendantes de h. En inspectant les formules des groupes G du n° 6i et J du n° 62, on parvient aux expressions suivantes où ne sont considérés c|ue les termes du second degré relativement aux fonctions diastématiques, et du premier, quant aux fonctions anastématiques:

Pioiiiière Puitic. Livre IV. 529

j^J|Z.(R3') + 2:l(iv)i

= ^|R<'(o,i,i)„,o + 2çj'-'E»(o,i,o),,„|/,,j7'[sm(Lr + F-F')+sin(lJ'-F-F')] -Ur^R»(i,o,o),,„ + ^ç'--'li''(.,o,i)„,„

+ -R''(i,o,2)„„U/7'sin(— IV + 2F' + V — v')

+ j-«l»(i,o,o),,,^= + R»(i,o,o)„,,,y''^ + 3(sV'' + ç!'-')K°(i,o,i)„,„r/'^

+ \ ir(i ,2,o)„,„yy' + l ir(i ,o,2)„„r/'^ j /' !sin {V + v— v')

+ - R°(i,2,o),,„5y-/' sin (ir — 2F + V — v')

+ ^[c!' 'R»(2,i,o).,,„+iR»(2,i,i).,,„],j-,//'sin(ir-F+F'+2(v-v')),

^^ I Zv(R cos // . ,:;) + Zy (R cos Jf . j) |

= U(R°(i,o,o),,,-~R»(i,2,o)Jr/ + tai,o,o),,,, + Mi«(i,o,2)Jr/'^L

+ -R°(i,2,o)„,„,=/sm(U-2F)

+ j-U-V-\'7"(i,i,o),,,„ + ^.7"(i,.,i),, ly,,;.'/sin(lT-F + F' + v-v') -Uf;'"\r/°(i,i,o)„,„ + ^,^"(i,i,i)„.„Ly//sin(-U + F + F' + v-v') -Uçl'-'^°(i,i,o)„,„+ir/«(i,i,i)o,oL,y'/siu(-U-F + F' + v-v')

-U5-=//"(2,o,o)„,„ + 3ci-'//°(2,o,i)o,„

+ '.r/»(2,o,2)„ Jr/Vsin(-U + 2F' + 2(v-v')). 4 I

Dans ces formules, on a employé la notation du n° 32, savoir:

Traite des orbites absohics. 57

530 Traité des Orbites des Plauètes.

Cherchons finalement les termes du troisième degré par rapport aux fonctions anastématiques. Dans ce but, établissons les expressions

Zv (5'h) + zVh) = \ r <Po si» (U' + V - V') + ^ 7' 0, sin (U' - v - v')

— ' 7' </»., ces (U' + V — v') + - I'<D^ cos (U' — v — v').

On a de plus, en omettant les termes inutiles,

h cosw = - (l>^ + - '^i cos 2v + :, '^a sin 2v,

h cos 2w = - (p^ cos (v — v') </'„ sin (v — v'),

d'où l'on tire facilement les expressions

ZvC^h cosw) + Zv(-ih cosw) = - 0^;^, + - 0Jhiu (U — 2v)

+ - c/A,/cos(LT — 2v),

2v(3'h cos 2w) + Y.u(] h cos 2w) — - 0^1' sin (U' + v — v')

+ - 0.J' cos(U' + V — v'),

Y,v{i'h COS w) -\- Sy(à'h cos w) = 2y(,')h cos 2w) -f- 2^''(3h cos 2w) = o.

Par les formules que nous venons d'obtenir précédemment, il est visible que les termes du type (B), qui sont du premier ordre, faisant partie du second membre de réquation (XI), renferment comme facteurs, soit (j), soit (j'), soit encore les dérivées de ces fonctions par rapport à v, respectivement à v'. On en conclut nu résultat de la forme suivante:

i;:.(R(3' -,5 cos//)) + Zv(R(5'-5 cos //)) = [-r + (//) + (/)](ô) + [(//),+(A}^^+[rcos(v-v')-f(/y')+(/')](3')

+ [r «in (v - V) + (//'),+ (m ^>

Preniière Partie. Livru IV. 531

les [H) , {H)^ , {H') et (//')j étant des fonctions du second degré des fonctions diustcmatiques, c'est-à-dire, de [p) , (p') , -~ et , les (/) , (/)j, (/') et (/'),, de pareilles fonctions des fonctions anastématiques, ou bien de (,^) , (j') , — ^ et . , et j-, une constante donnée pur la formule

dv

cW

r=^:^ir(i,o,o)„,,.

Après avoir établi ces formules, la séparation des termes du type (Z?) s'effectuera immédiatement. En effet, si l'on se rappelle la relation

on parvient tout d'abord, en vertu de l'équation (XI), aux résultats qu'on pourra écrire de la manière suivante :