Première Partie. Livre IV

Certes, il paraît superflu de retenir le dénominateur (i + (5"))% les termes du second ordre étant surtout négligés: je Tai mis en évidence seulement pour garder l'uniformité avec les équations que nous allons traiter un peu plus tard. Quant aux arguments des termes du second membre, on pourra remarquer qu'ils sont presque indépendants de V et, en conséquence, de U, fonction qui renferme la réduction du temps (voir les équations (3) du n° 40). Seulement dans l'angle ô)', si on l'exprime comme fonction de la varial)le r„, les- réductions du temps T et T apparaîtront, mais alors multipliées par des facteurs de Tordre des forces troublantes (voir l'équation (14) du n° 41). Mais il faut encore observer que, si la fonction ^ n'est pas égale à zéro, les arguments du second membre dépendent de l'angle v = v^, -|- ;^, Dans l'aperçu présent, nous admettons cette fonction négligeable, et nous écrivons, en con.séquence, v au lieu de \\ , aussi dans le premier membre.

L'équation que nous venons de signaler s'intègre aisément: si les £, cos (-' — F'), etc. sont des fonctions connues de v, on obtient le résultat tout de suite, mais, dans le cas opposé, on pourra signaler le résultat, du moins quant à la forme, et en donner une valeur approchée. On y suppose, toutefois, que les fonctions s^ cos (tt' — F'), etc. s'expriment moyennant des agrégats périodiques ne renfermant que des termes du type [A). Les valeurs approchées des résultats s'obtiennent tout simplement en mettant en usage les procédés d'intégration que nous avons élucidés dans le n° 102.

Après avoir déterminé les termes sousélémentaires du type [B] faisant partie de la fonction S, on va établir l'équation (VIII), c'est-à-dire, on formera les expressions avec coefficients numériques des divers termes entrant dans cette équation. On y doit observer la valeur de (c) découlant de la formule (y5) du n° 103, savoir, en négligeant la partie (/i) qui est inutile quant à présent,

On en tire:

écjuation qui nous pourra être utile à diverses occasions

536 Traité des Orlntes des Planètes.

On obtiendra également des résultats semblables relativement aux fonctions -S" , [p') et (c') ; et ensuite, on établira, d'après le modèle de l'équation (XII), deux équations, l'une en (5), l'autre en (j').

De la sorte, si le nombre des planètes est deux, on parviendra à un système de quatre équations, chacune du second ordre et du troisième degré. Mais si l'on considère, à la fois, toutes les huit planètes principales, le nombre des équations simultanées sera seize. Il s'entend que l'intégration du système mentionné sera une affaire extrêmement compliquée: cependant, en faisant usage d'une méthode de réduction que j'ai donnée dans le mémoire «nouvelles recherches etc.)), on parviendra à accomplir cette tâche moyennant des approximations successives, dont la première s'opère par l'intégration d'un système de seize équations linéaires, équations qui cependant jouissent de la propriété d'être horistiques, et qui en conséquence, se prêtent à chercher des solutions uniformément convergentes. Considérées comme équations linéaires, les équations mentionnées se divisent, du reste, en deux groupes, formant cliacun un système de huit équations.

Par ce que je viens de dire, il s'entend que notre point de départ doit être l'étude de la fonction S.

118. Il s'agit avant tout de montrer que les termes du type [A) qui apparaissent dans l'expression de la fonction S, sont sousélémentaires du premier ordre tout au moins; autrement, c'est-à-dire, s'il y avait là des termes élémentaires, la fonction ~T renfermerait des termes sm-élémentaires, ce qui rendrait la solution impossible.

Dans le but proposé, reprenons l'équation (IVJ, et portons-y la valeur de r exprimée en p et (c). Nous aurons, par un calcul assez simple les expressions

;■ + <jY

1'-' \(^pV ^i+pd{,-)dp (1 +py /d{c) '1

Prcniiri'c I';ii'lic. Livre I\'. ','.\'

Posons, |)(nir siinplilier un [iimi,

1 + > et encore:

p]n vertu de la formule (yî) du n° 103, laquelle, si ^ n'est pas étral à zéro, et que v^, soit pris pour variable indépendante, s'écrit ainsi:

ou obtiendra, en rapjielant l'équation le résultat:

Maintenant, si nous formons la somme des trois premiers termes du premier mend)re de l'écpiation (I\'.J, et (|ue nous désignions cette somme par X, nous aurons:

Quant à la première intégrale du second mend)re de ré(iuation (IV.J, voici quelques remarques.

Posons d'abord:

dr <lr'

il s'agit d'intrnduire, dans cette formule, la variable indépendante \„ a lieu de r

Traité des orbites absolues. (Jg

538 Traitii des Orbites des Planètes.

Pour y arriver, nous observons la relation

^' = v„ + / + G, ainsi que celle-ci:

du d\\ '

en vertu desquelles la formule (3) se change en la suivante:

D'ailleurs, les valeurs

S = r cos(V(, + ;ir + '^); 7} =- r sin (v„ + / + O),

^ = cos(v„ + ;. + G)- - r,(i + j^^ + ^-^J,

donnent surle-ebani]), si l'on considère les équations (11') du n° 66, ainsi tiue ré(juation (4) du chapitre proccdent, l'expression signalée de l'intégrale Ij

Maintenant, si l'on forme le produit des expressions

dr dv^ "

py'dp r d{r)

on obtiendra :

3/2 dr dQ dp I dQ d (c)

dr c/v„ dp dv^ pr dp dv^

Ensuite, si l'on reprend l'équation (38) du ' n° 70, et qu'on y mette v^ au lieu de v, ce qvii est permis parce qu'on doit, en même temps, considérer p et (/) comme fonctions de v^, et non ])lus comme fonctions de v, on j)arvi(>iidra i"i la relation

d\\. dp d\\, '■"" ' dp \d\„ ^