Première Partie. Livre IV

Ayiint obtenu les relations deruièrement mentionnées, nous allons les introduire dans l'expression (3'), ce qui nous amènera à l'expression

h' étant mis à la place de -p- •

Il convient de s'arrêter un moment à la formule trouvée pour la rapprocher de l'expression de L' , qu'on era^jloie, à l'ordinaire, dans la théorie de la variation des constantes arbitraires. On sait que cette fonction y joue un rôle proéminent, et qu'elle y entre sous forme d'une dérivée partielle. En désignant, en effet, par c l'élément elliptique longitude moyenne à l'époque, on a établi l'expression

as

Les deux valeurs que nous venons d'assigner à />' devant être identiques, on demande si l'on peut toujours satisfaire à cette condition par la seconde. Il s'agit, en d'autres mots, d'examiner si cette valeur est toujours l'expression rigoureuse de la fonction L'.

Admettons, pour simplifier la question,

(/ = Ct = X — o, ce qui nous permettra d'écrire

(4) 3„ + a, do ~ "^" ^ Sp [do ^^'> nrdo )

Mais quant au premier membre de cette équation, on voit facilement qu'il ne peut pas être identi([uc avec la dérivée partielle mentionnée, à moins qu'on n'ait:

re sin {v — /T,)(//T, + r cos(^' — 7t^)ile = d[a{\ — e')],

e étant l'excentricité elliptique, Tj , la longitude du périhélie, et r/ , le demi grand axe. '

' Annales de l'observatoire de Paris, I, p. 235.

.")-10 Tniitc fie? Orliites ilrs l'ianèti's.

Cette couditiun ])eut être remplie de diverses manières; d'abord en supposant les éléments constants, mais encore, en substituant, pour leurs parties variables, l'ensemble des inégalités du premier ordre, ou bien, les inégalités jusqu'à un ordre quelconque. Mais elle ne sera pas satisfaite, si l'on y met, au lieu des variations totales des éléments, une certaine portion de leurs inégalités, par exemple les inégalités séculaires. On voit en effet que, si l'on remplace les éléments e , tTj et « par leurs expressions séculaires, le premier membre de lécjuation signalée renfermera des termes dépendant de 2V, termes qui ne seront pas compensés par de pareils termes du second membre. Il ne sera donc pas légitime de représenter de la sorte

les fonctions mentionnées et en même temps mettre l'expression " à la place

de L' . Il jniraît découler par là (jue les formules données par Poisson dans sou célèbre mémoire de 1816, se prêtent seulement aux développements qui procèdent conséquemraent suivant les puissances des forces troublantes, développements où apparaîti'a, inévital)lement, le temps bors des signes trigonométriques, et qui, en conséquence, ne pourront pas constituer des solutions absolues. En d'autres mots, après avoir détaché de la fonction perturbatrice, la partie dite partie séculaii'e, les formules bien connues des variations des éléments ne s'appliquent plus, les expressions séculaires étant considérées comme une première ajiproximation.

119. Kevenons à notre équation (IV^) ([ui joue, en quebiue sorte, le même rôle dans la théorie des orbites absolues que joue, dans la variation des éléments képleriens, l'expression du demi grand axe.

En portant, dans léquation mentionnée les expressions (2) et {j"), il viendra:

(=+''jl(^+^h

l'iviiiiciv l'nrtic. Livre IV, 541

Eu ii'iiitroiliiisimt S au lieu de ) , en l'cmphn'uiit la coii.staiitc d'iiitci^ratiuu // par uiu' autre n, liin; à crlle-là par IVupiation

et eu désignant tiualement par .1/ l'enseuible des ternies indépendants de S, qui sont uii du second ordre ou déliarrassés du signe j , on tire de l'écpia tien précédente le résultat que voici:

Evidemment, s'il se trouvait dans 21 des termes du type (^4), ceux-là seraient tout au moins du premii'r ordre. Kn elTet, les termes (|ui y sont encore atîectés du signe / appartiennent au second ordre et deviennent, par l'intégration, du premier; les autres termes sont, par sui)positiou, du premier ordre, (^uant à l'intégrale 1 D^iidy^, son expression ne renferme pas de terme du type (A), et les autres termes seront du premier ordre. Il en peut résulter par la multiplication avec les diverses puissances de p,

~ , A et 11, des termes du type (A), il est vrai, mais ces termes seront

partout sousélémentaires. Il s'ensuit que l'expression de 5' ne rent"ermera

aucun terme élémentaire, si toutefois /r est une (juantité du premier ordre.

En ditïéreutiaut l'équation (5), nous obtenons un résultat de la forme

ds

Q étant un agrégat où les termes du type (.1) sont nécessairement du second ordre, vu que tout terme de ce genre contenu dans cet agrégat est le résultat d'une difïércutiation par laquelle sera produit un facteur de l'ordre des forces troublantes.

542 Traité des Orbites des Plauètes.

La fouction Q se met facileiueut sous la forme

(7) ^^- '-^h^nrv ^-'^' + ^-^

qu'oïl peut transformer ultérieurcnient moyeunaut 1 équation (i). Tl n'y a pas, toutefois, des motifs d'entrer, quant à présent, dans les détails s'y rapportant.

Quant à la constante «r, il y aura à remarquer qu'elle n'est pas arbitraire, mais bien surabondante. Elle doit en effet être déterminée de

façon que l'expression de -j— , donnée par l'équation (25) du n° 115, soit

dépourvue de tout terme constant. Autrement, la fonction T renfermerait un terme proportionel à l'angle y, et ou n'aurait pas fondé le calcul de l'argument diastématique sur la vraie valeur du mouvement moyen.

Le résultat que nous venons de signaler par l'équation (5), ne jouit pas d'un caractère absolu. La raison en est que la série trigonométrique par laquelle sera représentée la quadrature / D^Jidv^, pourra finir par être divergente. Nous aurons plus tard, il est vrai, en partant de l'équation (X), un résultat plus rigoureux; néanmoins nous chercherons à montrer, d'une manière fort simple que la fonction S, déterminée par l'équation (6), est réelle et finie.

1 20. Supposons, en négligeant la fonction T dans les arguments des divers termes, que le second membre de l'équation (6) ne renferme que des termes tout connus. Admettons ensuite le développement

Q = y^ sin (A,v + L,) + y^ sin (A^v + LJ + . . . ,

Premii're Partie. Livre IV.

;-, , Â, , Lj , ;-j , ... étant dos quantités constantes, et v, pour abréger, mis à la place de v^. Nous supposons d'ailleurs que les coefficients ;*, , ^'.^ , • convergent comme une progression géométrique.

Avec cette expression, on tire immédiatement de ré([uation (6) le résultat suivant:

?:.eos(;,v + L,)-^'cos(À,v + 7..J-

Ou peut toujours supposer la série du second membre convergente, bien que la convergence ne soit pas uniforme Kn effet, si l'on pose:

K = K„ — -~ cos 7>, — -^ cos L., — ....

-, = I + 2 a; + -.'■ [cos(;,v + LJ - cos/>,] +

où les termes de droite forment, évidemment, une série convergente Il en découle:

I + 2A'„ + -, ' [ens(;,,v + L,) — am L,\ + . . En développant le second membre, on obtient le résultat

V' + 2S'o ;,,(! + 2Kj'

j[cos(A,v + /.,) — cosLJ

+ — 1 [eos U,v + L,) - cos LJ +

Or, le terme constant du développement de la fonction <S' devant être égal à une quantité donnée, que nous désignerons par ct, il faut qu'on

établisse, en ne considérant ([uc les termes du dciiviriuc oi'di'e eu y , — , ..

544 Trait)'' des Orliites des Plaiièles.

et eu restituant K au lieu Je 7v„, ce (jui revient à omettre les ternies

y-'cosL, , etc., l'équation de condition que voici:

— I — rr + — -"

011 l'on a désigné par 2 F, le développement

Evidemment, si F^ était, avec a, une petite quantité, la résolution de l'équation que nous venons d'obtenir s'effectuerait très facilement, parce que cette supposition entraîne celle que K soit aussi peu sensible. Or, si l'on ne considère que les premières puissances de A' et de F^ , il résultera l'équation

d'où l'on tire:

Maintenant, si l'on désigne par x, , Xj , . . . les coefficients des termes périodiques du premier ordre du développement (8), nous aurons, en ne considérant touiours que les termes du deuxième ordre en ^ , -ê , ., l'expression

bien

An

Certes, le procédé qui nous a conduit- au résultat signalé n'étant légitime qu'à certaines conditions, on doit accepter ce résultat sous toute réserve. Néanmoins, tout incomplète que puisse être la formule du coefficient z,, elle révèle un fait que nous allons retrouver plus tard avec plus de rigueur, savoir que de petites valeurs des coefficients A, ne tendent pas à agrandir les coefficients /, hors des limites finies et inférieures à l'unité.

Prcmic'ie P.iifio. T^ivrc lA'. îî^S

12 1. La méthode d'étudier le développement de la fonction S que nous venons d'e^xposer dans le numéro précédent, conduit, si imparfaite qu'elle puisse être, aux règles du calcul qui s'appliquent avantageusement aux cas des planètes principales. Néanmoins, la discussion de certains de ses détails étant assez difficile, pour ne pas dire impossible, il convient de la remplacer par une autre qui sous le rapport théorique paraît supérieure. Je me restreins cependant à en indiquer le point de départ.

Dans ce but, différentions l'équation (6), après y avoir écrit v au lieu de v^ ; ce qui nous donne immédiatement: