Première Partie. Livre IV

de la quantité ^ ,, développement qui peut souvent devenir divergent.

Ce résultat n'a cependant rien d'étonnant, vu que l'intégrale générale de l'équation (23) a pour exposant caractéristique une quantité imaginaire dont

s'^A' le carré e.st sensiblement égal à '-^t^ . Le dénominateur du terme faisant

partie de l'expression de F, qui est indépendant de l'argument G, e.-it donc égal a -^ — <T', dénominateur, qui dans les résultats indi(|ués paraît développé suivant les puissances de la quantité mentionnée tout à l'heure. Venons maintenant au second cas. En adoptant la notation

et en négligeant toujours les termes en F% F', . . . , l'équation (20) prend la forme

(24) :!jr+^^cos2ame.F=-^(^)^lx.

Mais c'est une équation de L.\mk, et on sait mettre l'intégrale sous la forme

0, et c^ étant les deux constantes d'intégration qui dans notre cas sont surabondantes.

Voilà un résultat qui est bien différent de celui ([ue nous venons d'obtenir par l'intégration de l'équation (23): l'exposant caractéristique est devenu égal à zéro, et on obtient, en conséquence, le terme dépendant de H seul, ou du moins sa partie principale, moyennant deux intégrations linéaires.

Mais le résultat auquel on est parvenu de la sorte, doit-on le considérer comme une vraie approximation, c'est à dire comme une approxi-

Traité (ks orbites absolues. , 7'2

570 Traité des Orbites des Planètes.

mation par laquelle ou n'aura pas de développement divergent? En général, ce n'est pas ainsi. En effet, si l'on revient à l'équation complète (20), et qu'on y suppose toujours la fonction X consistant en un seul terme, on verra naître des développements qui procèdent suivant les puissances d'une fraction dont le numérateur est une quantité du quatrième ordre, et le dénominateur, le carré du coefficient a. Ce développement peut être convergent, il est vrai; mais dans le cas des termes élémentaires, où a est une très petite quantité de l'ordre des masses troublantes, il peut facilement être divergent.

Pour corroborer l'assertion que je viens de formuler, je rappelle une équation que j'ai déduite à une autre occasion.' Cette équation, étant au fond une transformation de l'équation (20), peut être mise sous la forme suivante

OÙ l'on a, toutefois, négligé quelques termes insignifiants et inutiles.

Par cette équation, on est à même de conclure que les approximations qu'on entame en intégrant l'équation (24), ne sont pas nécessairement convergentes, et qu'elles forment, en effet, des développements de la nature mentionnée.

Cette conclusion reste à fortiori en vigueur dans le cas où la fonction X est représentée par un agrégat périodique. Si cet agrégat est infini, déjà la première approximation peut donner naissance à un développement divergent. En conséquence, le résultat obtenu par l'intégration de l'équation (24), ne convient pas toujours à une vraie approximation, bien qu'il puisse, dans certains cas, être très approché du résultat exact. Surtout lorsqu'il s'agit ou de termes élémentaires ou de termes critiques ou enfin de termes en même temps élémentaires et critiques, l'équation (24) pourra conduire à un résultat tout à fait erroné.

D'autre part, si l'on forme l'équatiou aux variations des divers termes de l'équation (26), ou plus simplement, si l'on établit l'équation

' Nouvelles recherches elc, § 6, n° i i .

Premicic Parlio. Livre IV. 571

(27) 0 + r cos 2 am ^-f)^ = F.y-^(^^yX,

f étant une constante jjositive convenablement choisie, et F, la fonction S96o(^)',y-„.iL,= | +,,,■(!)•,,

cette équation nous fournit, si F est d'abord mis égal à zéro, le point de départ qui conviendra aux approximations successives. La constante /" peut être prise à volonté; il convient toutefois de la choisir suffisamment grande pour rendre la valeur de F toujours négative.'

L'intégration de l'équation (27) s'opère, lorsque le second membre est égal à zéro, suivant la méthode donnée par M. Hermite dans son célèbre mémoire »Sur quelques applications des fonctions elliptiques».

129. Les procédés par lesquels on est parvenu, dans les ))nouvelles recherches etc.» à l'équation (26) étant très compliqués, je vais les remplacer ici par une méthode très simple, méthode qui ne nous conduira pas, il est vrai, à l'équation (26), mais bien directement à l'équation (27).

D'abord, en mettant toujours T égal à Z -{- ~ V, je divise l'équation

(18) en deux autres de la manière siiivaute:

^=^(i 2.y)sin(rV + sZ),

'P^= —sA cos {G + sZ) . V + s A .sin {G + sZ){V' — (/)

-\-^-sA cos {G + sZ)V' — . . . — "^ X,

fj étant une constante positive dont la valeur soit comprise entre o et

- , et qu'il faut choisir convenablement. Evidemment, la somme de ces deux

équations équivaut à l'équation (18).

Ensuite, eu déterininant le module elliptique moyennant la relation

' Nouvelles recherches etc., § 6, n° 12.

572 Traité des Orbites des Planètes,

nous aurons:

(30) G + sZ = 2 am "J- (^v + B)

= 2 am ^ .

Cela étant, nous allons introduire, dans la seconde des équations (28), une nouvelle inconnue ij , en établissant la relation

d"où il s'ensuit

— = — 4 — -^ — r- sur 2 ain ç + -^v — r- 1^ sm 2 am f

dç' de /' \2A/ 2/,- V2A/

3 qsA / TT \ % 0 .

Avec ces expressions, et en considérant la relation

sA / rr \' k'^

on obtiendra :

d'il , \ k' > I qk* I -r*T + cos 2 am c -, — ^ -., y

I qk* ^ r ; ''■' • '-.2 1

= — ^ -, COS 4 am s ■ '/ + />■ sm 2 am ç • // + ■ • •

1 flfc* . „ S '/Z^-* . - I 'ik' . ^ , sin 2 am ç + t — «'" 4 'i^i ^ — ^:. / — ' ^ x» sin 4 am ç +

--.MsT^.

équation qui, eu désignant par ITV^' + "0 ^'^ partie constante du

-^é^, de la fonction ^^ 1

développement, suivant les multiples de -^,6, de la fonction -^^— ^ cos 2 am f ,

et en mettant:

Preinièie Partie. Livre IV. 573

prend la forme

(3 3) j^, + ^i ^oa 2 am >; — f)y = F .y —^^ j— --^- — .siii 2 uni ç + . . .

Nous voilà donc parvenus au résultat cherche. Sans doute, il mériterait une étude soigneuse; je me restreins toutefois, (]uant à présent, au deux remarques suivantes.

Premièrement, que le terme m est une quantité peu considérable auprès de l'unité: or, eu la supprimant, on obtiendra l'expression très simple de f que voici:

r \ '.IJI -il) ,.4

Notre seconde remarque concerne la fonction F . En n'y considérant que le terme le plus important, nous aurons

i^ = ; COS Yr s

Cela étant, ou sera à même, sans craindre de provoquer des développements divergents, d'entamer les approximations successives, en omettant, dans l'équation (33), les termes du second membre qui dépendent de y et de ses puissances.

Quant à la convergence des approximations indiquées, le lecteur est d'ailleurs renvoyé à la remarque de M. Poincaré dans sou ouvrage »Les méthodes nouvelles de la mécanique céle.stew, T. II, p, 311.

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