Première Partie. Livre IV

lo module des foiicti()n.s elliptiques étaut détermiué moyennant la rcilation

Les résultats que nous venons de signaler entraînent quelques remarques.

Par la relation (22), il est visible que, même dans le cas où X acquiert une valeur extrêmement petite, la valeur -de k peut être prise moindre que l'unité; il s'ensuit que les valeurs de Z sont renfermées dans des limites dont l'amplitude sera d'autant moins considérable, plus que le nombre s sera plus grand. Dans le cas où s est négatif, la valeur du module devient imaginaire; on réduira alors les formules à celles d'un module réel, en employant quelques théorèmes bien connus de la théorie des fonctions elliptiques.

S'il s'agit d'un terme élémentaire du type {A), le nombre s est une quantité de l'ordre des forces troublantes; on en conclut, en suppo.sant toujours A très petit, de sorte que le module s'approche de l'unité, que la fonction Z sera représentée, par des termes surélémentaires. Mais une telle solution n'étant pas admissible, on conclut que le point de départ des approximations successives n'était pas bien choisi, si toutefois l'on ne veut pas admettre la conclusion non fondée qu'une solution au moyen de fonctions trigonométriques soit impossible.

Lorsqu'une synechie dont le degré est plus grand que zéro, renferme un terme qui a l'apparence de donner naissance à l'inégalité dite libration, les termes coordonnés paraissent d'abord par l'intégration devenir surélémentaires. Cependant, si l'on aborde le calcul de l'inégalité naissant d'un tel terme coordonné en appliquant les formules (21) et (22), on trouvera des résultats acceptables, mais le module acquerra une valeur près de l'unité, à moins que le terme dont il s'agit ne soit pas d'un degré suffisamment élevé.

128. Considérons maintenant l'équation (20), et chei'chons les résultats qu'on en peut tirer, en négligeant les termes eu V , T' , . . . et en admettant que la fonction X ne renferme qu'un seul terme, en sorte que nous ayons :

A'^ = ^sin H,

H étant l'argument <tv + /;. Nous supposons que le coefficient /- soit une

très petite quantité du deuxième ordre, mais nous admettons aussi le diviseur linéaire o très petit, disons une quantité du premier ordre. Nous distinguons cependant deux cas: dans le premier, nous supprimons la fonction Z dans l'argument, ce qui revient à négliger les termes d'un ordre plus élevé que le second; dans l'autre cas, nous n'admettons pas cette simplification.

Cela supposé, nous avons dans le premier cas:

ârV (23) -,— r = — ^-^ cos (t . V — ;- sin H .

En intégrant cette équation moyennant des approximations, on pourra procéder de la manière suivante:

Si l'on admet le développement

y = Ho + .'/, + //. +

et que l'on détermine les diverses fonctions ?/, en intégrant successivement les équations

—^ — — ;- sm 7/ ,

-^ = — s A cos G . Il ,

dont la somme évidemment équivaut à l'équation (23), il viendra: .Vo = ^ siû ^^ V, = 1-t4^M (^^ + ^n -:;7TT^%r-,sin {G - II),

•1 2(2/< + ff)V ^ ' 2(2À — (T)-(r ^ '

|4(2/ -t- aYa'' 4(2/ — ^)'ff*|

Il ne sera pas nécessaire d'aller plus loin ; car les résultats déjà obtenus montrent qu'on a entamé un développement suivant les puissances