Première Partie. Livre I. lOl

" 720 ' 64 ' 2304 1024 ' 23040 ' II 52 '

On remarque, pour avoir les s avec le second indice supérieur nég;atif, la relation

qu'on trouve facilement, en portant les expressions (19) dans l'équation (iS)

30. Abordons encore une question, étroitement liée à celle que nous avons traitée dans le numéro précédent. 11 s'agit maintenant d'établir le développement

(20) e""*'-"-^' = Xi,'"* + A'<"*>6'"' + X!,""e^"^ + . . .

+ x:v«-'" + X-ie-'^'^ + . . . ,

in pouvant être un nombre quelconque, bien que nous n'ayons, j^énéralement, besoin que des t'(.)rmules subsistant pour des valeurs entières du nombre m.

Mais la résolution du proljlème énoncé est depuis loni;teinps connue dans toutes ses particularités. En effet, si nous admettons les expressions

les coett'icients ^'^'■'' seront exprimés moyennant des polynômes en ui , de l'ordi'e s , lesquels on peut mettre en évidence à l'aide des expressions que Le Verrier u données dans le Tome premier des Annales de l'observatoire de Paris (Addition première).

Voici les polynômes dont il s'agit:

Çfj — '1

102 Traité dus Orbites des Planètes.

^« ==:Ï8"' +7^'" +768'" +io7^'" +71^'" +3

III

*' 240 ' 1)4 ' ytiS ' 1024 ' 5120 ' 5120 ' 1024

fr* == — )«' +4 '"'■' + "ï^ "<' + — '"<

;^,i, fi I (i ■ 5 -11 433 4 1 663 -, 1 24260 o 1223

;-,n^ ' 7 1 ■ 1; , 889 5 , 2759 4 , 2SI743 g , 5919

Pivniièvp Pailio. Ijivrf I.

lo;',

(^)ii;uit aux coefficients avec des iiidices m'i;'atifs, il suff'it de l'aire, j)our les obtenir, la remarque que voici:

Par la définition de la fonction X|,"", il est évident (|u'on a:

or, en introduisant, dans cette équation, les dévelo])penients (21), on aura sur le champ:

Donc, les coefficients dont le second indice snjx'rieur est né^atir, s'ohtien uent en mettant, dans les exjjressions ])réccdentes, — m au lieu de m On a encore, évidemment.

Les c, ne dépendant que des nombres entiers, on peut les calculer numériquement une fois pour toutes: on en trouve les valeurs, rassemblées dans une table jointe à ce volume

31. Kn considérant (pie les fonctions X*,"" et }''"' s'expriment au moven des formules

il sera facile de trouver une formule destinée à ramcMier l'une à l'autre, les deux fonctions dont il s'agit

P]n ett'et, si Vnn intègre, par parties, la seconde des forniul(>s signalées, on trouvera tout d'abord celle-ci :

TZIl -4- V J

d où l'on conclut, eu la comparant avec l'expression précédi'iiti- de X, la relation

yiiO - '"' V(-n-v) Il + v^ "

104 Traité des Orbites des Planètes.

En substituant, dans cette équation, les expressions de Y^''' et de XJ,^'' '•■', données par les équations (19) et (21), on parvient immédiatement à la formule

(23) .- = (-iy^r--.

qui permet de calculer les s,, les ç^ étant donnés. Réciproquement, si les £, étaient connus, on trouverait, en utilisant la formule signalée, les f, . Les deux groupes de coefficients étant évalués indépendamment,' la formule établie sert à vérifier les calculs.

Su]:)posons, dans un premier exemple, qu'il s'agisse d'évaluer le coefficient Sj'.

On a d'abord, en vertu de l'expression de ç.j"' :

c'est à dire, l'expression donnée dans le n° 29

Dans notre second exemple, nous nous proposons de calculer le coefficient Sj'. L'expression du coefficient C;" ' nous donne, en la portant dans l'équation (23), celle-ci:

,A,7 , ((^' + 7r U + 7f j 889(; + jY 27S9U + jf

5040 192 161 28 92 lù

d'où l'on tire, après avoir réduit les diverses fractions au même dénominateur:

-f(i5.64.7'— 5.1680.7 + 177.80)/* -|-(20.64.7'— 10. 1680. 7'-f 4.17780.7 — 96565)/'' + (15.64.7'— io.i68o.7' + 6.i778o.7'— 3 96565.7 + 281743)/- ■ + (6.64. 7"— 5. 1680.7^ + 4. 17780.7'— 3. 96565. 7' + 2. 281743.7