L,==L, = L, = ... = TT

Si le résultat d'une telle opération était positif, ou pourrait s'arrêter à la valeur minima de ê^, c'est-à-dire, à la quantité (j^ ; mais si, par contre, ou trouvait un résultat négatif, la valeur obtenue de la sorte serait un maxiuuun relatif. Dans ce cas, il faut, pour obtenir la valeur demandée de g^ , égaler à zéro un ou plusieurs des arguments L^ , L^ , L^ , . . . . Or, eu opérant des manières indiquées, il peut arriver qu'on parvienne seulement à une valeur minima relative. Pour obtenir la valeur minima absolue, il faudrait donc la chercber moyennant d'autres procédés, sans doute plus compliqués. Me réservant d'y revenir plus tard, je me borne quant à présent à ne considérer que le cas où le minimum s'obtient, en mettant tous les arguments égaux à tt, ce qui entraînera la valeur

Maintenant, si nous nous rappelons les expressions du n° 6, nous parviendrons tout d'abord à l'équation

I + fr i + N" qui admet deux racines, savoir:

Nous avons supposé iV > i ; donc, pour avoir une valeur de |î, moindre que l'unité, il faut prendre

En introduisant les valeurs trouvées de. ff^ et (j^ dans l'équation (14) du cbaj). I, il viendra:

(6) ''^' = \^{^ + ^-i3'fv + ,r\,

oîi l'on a désigné par W une fonction oscillant entre — i et + ' > dont il nous reste à chercber l'expression.

Première Puitie. Livre I. 119

Dans ce but, établissons la moyenne des deux expressions (4) et (5); nous aurons de la sorte une expression nouvelle de i9^ que nous écrivons ainsi :

//^= I +iV^+ 2iV[gcosX, +|cosL, + ...

-^[i-cos(X,-LJ]-...

En comparant, après avoir remplacé — par ~, , cette expression

de (9^ avec la précédente, on conclut facilement la valeur (7) W = j3\a.j cosi,^ + ctj cosLg + . . .

Ayant obtenu ce résultat, il sera facile, en utilisant une formule bien connue, d'établir le développement que voici:

(S) j. = 7=^1 1 - 2,5Tr + 2I3'\2 ir - I) - 2y9=(4Tf= - 3 TF) + . . .}.

Cela étant, nous aurons, en multipliant les expressions (::) et (8), et en introduisant le produit ainsi obtenu dans la formule (i), un résultat de la forme

(9) Y ~ ^i — ■^ + '''o + termes périodiques,

la ([uantité À^ étant donnée au moyen de l'expression

— rxlall9\k, + l,- 2;,) - a^ctl/îU +K- 2^) " ■ •

— alall3%À, + A, — 2 ;,) — .. .

Traité de? Orliitc? des Planètes

OÙ l'on n'a mis en évidence que la partie qui est engendrée par les premiers termes du développement (8).

Après avoir ainsi déterminé la quantité X^, si l'on établit la coudition

qu'on intès^re l'équation (9), et qu'on désigne la constante d'intégration par Z*j — b -\- /v, , dont la valeur doit être égalée à zéro, la fonction 0 sera exprimée par un agrégat périodique sans terme constant.

]\raiutenant, si l'on désigne par A l'agrégat périodique proposé, de sorte qu'on ait:

h, lu .

lo résultat de notre transformation sera:

(12) A = ft,*cos(/r + h •-[- 0).

Finalement, la détermination de l'argument initial h s'opère de la manière suivante.

En désignant par A^., U^ et 6^ les valeurs que prennent les fonctions A , ê et 0 lorsqu'on y met v égal à z.éro, nous ^aurons l'équation de condition

A = ^q''^cos(A + 6^).

Ensuite, si l'on établit un nouvel agrégat, savoir:

et qu'on désigne par 7?„ la valeur de cet agrégat birsque r est égal à zéro, on aura :

^0 -a^>%^nHl>+ âj.