II

~oT

looT

i5or

Dans la première colonne de ce tableau, ou a désigné jiar T un intervalle de mille ans. Or, le temjis étant compté à partir de l'an 1850, \oT , par exemple, signifie l'épocjue 1 1850.

On conclut par les nombres signalés que la fouctiou -^ est soumise à uue variation séculaire; il s'ensuit qu'elle renferme, nécessairement, un terme non périodi(jue, terme (jui dans le cas actuel ne peut être autre chose qu'une constante multipliée par le temps.

Traité (lei< Orhites des Planètes.

Mais, bien que les périhélies et les noeuds soient généralement affectés de mouvements moyens, ces mouvements n'apparaîtrons pas toujours dans les arguments des divers termes entrant dans les expressions des coordonnées. En effet, dans le troisième cas, aucun argument des termes de la fonction p ne sera isocinétique avec la longitude du périhélie, et le mouvement de cette longitude ne figure pas non plus comme argument dans les expressions de )y'"" et de 3y"e"''' , n étant un nombre entier quelconque. Pour s'en convaincre, on remarquera que les formules du chap, III restent en vigueur lorsqu'on y met a au lieu de c et en même temps, B au lieu de /'. Que ces remplacements soient permis, cela s'entend parce qu'un changement de c sera compensé par une modification convenable de la fonction tt, et qu'il eu sera de même relativement à la constante /'. Ou pourra doue mettre:

Mais puiscpi'on a, ce qui est immédiatement clair en vertu des équations (i6):

rie^

il sera aisé de conclure la vérité de ce que nous venons d'énoncer.

On peut ainsi, même dans le troisième cas, utiliser les formules du chap. III, bien qu'elles semblent de prime abord dépendre d'un argument qui disparaîtra finalement des formules.

En conservant la notation

oj ^ ç(.,; ,|) -I- r,

ou l'emploiera inaltérée dans le premier cas; dans le deuxième, on changera C en fT„ et /' en B,, Dans le troisième cas finalement, on mettra o- à la place de ç et B au lieu de F. Dans les deux premiers cas, l'argument 0) est isocinétique avec un argument se trouvant déjà dans l'expression primitive de p, mais dans le troisième cas, aucun des arguments d'où dépend

Froinière Partie. Livre I.

la fouctiou p , n'est isoeiuétique avec lo . Donc, dans ce cas, un argument astronomique est remplacé par un argument non-astronomique.

Cependant, on pourrait aborder le problème de trouver la relation entre le temps et la longitude dans le plan instantané, d'une autn? manière que celle employée dans le chap. III: on pourrait, en effet, déjà dans l'écjuation (43) du cbap. I, supprimer la quantité ç, de sorte que le facteur de V serait devenu égal à l'unité au lieu de i — c l^u opérant ainsi, on obtiendrait, au lieu des formules (19) du cbap. I, les suivantes:

(j = -q cos

r II

Ayant déterminé les fonctions 57 et - de la sorte, on aurait trouvé un résultat relativement à v] identique avec celui qui découle des équations (19) du cbap. I; mais quant à l'angle -, en le tirant des équations (i8j, on ne le trouverait plus exprimé par un agrégat périodique, mais bien par un tel agrégat augmenté d'un terme de nature séculaire. L'angle tt, déterminé de la sorte, serait, en effet, identique avec la longitude vraie du péribélie, longitude que nous avons désignée (p. 1 06) par tTj .

On pourrait donc penser être parvenu aux formules les plus simples, en adoptant le système (18) avec toutes ses conséquences, mais en faisant un examen comparatif des deux systèmes, les équations ( i 8) et les équations (19) du cbap. I, on se convaincra que les variations des fonctions // et h, celles-ci déterminées par les équations (19) du cbap. I, sont, dans le premier cas, et même dans le second en y cbangeant ç en cr,, , moins sensibles que celles des dites fonctions déterminées par les écjuations (18), naguère mises en évidence. Ainsi, en employant les formules du cbap. III, où l'on a partout supposé les fonctions dont il est question déterminées eu vertu des équations (19) du cbap. I, on fondera les recbercbes suivantes sur des expressions où les quantités considérées d'abord comme constantes dans les intégrations par parties, sont soumises aux ])lus petites variations

126 Traité des Orbites des Planètes.

possibles. C'est pour cette raisou qu'on a jugé convenable d'adopter la forme indiquée pour les fonctions dont il s'agit.

.En ojiérant de cette manière, on réduira la fonction X, déterminée par l'équation (13) du chap. précédent, à son minimum, mais on gagnera encore l'avantage de rendre certaines approximations, dans ce qui va suivre, aussi rapides que possible. Dans le troisième cas, cependant, la manière de définir les fonctions {/ et h que nous avons mise en usage par les équations (16), ne l'emportera pas essentiellement sur celle oit l'on a supposé ces fonctions déterminées en vertu des équations (iS). On pourra néanmoins, même dans le troisième cas, employer l'équation (43) du chap. I, en y remplaçant ç par o- et /' par B, mais alors il ne faut pas oublier que les fonctions 7j cos {tt — B) et 7j siu {tt — B) sont déterminées au moyen des équations (16), c'est-à-dire, par des agrégats périodiques sans terme constant.

37. Il serait de quelque intérêt d'introduire, dans l'équation (43) du chap. I ainsi que dans l'équation (i) du chap. III, au lieu des fonctions (/ et h leurs valeurs moyennes; on aurait ainsi une courbe périplégmatique eu quelque sorte une courbe moyenne représentant l'infinité des spires de la courbe effective. Cherchons à déterminer ces valeurs.

Dans ce but, examinons ce que devient la valeur moyenne d'un agrégat périodique, en formant cette moyenne d'une infinité de valeurs particulières

Eu considérant les inégalités

— ^ ^ f cos xdx < i, — I ^ Tsin xdx < i ,

et que la valeur moyenne de l'agrégat périodique A , entre les limites o et ni , est donnée par l'exjjression

- fAdv,

on comprendra aisément que la valeur dont il s'agit tend à décroître au fur et à mesure que m augmente. Il s'ensuit que la valeur moyenne d'une infinité de valeurs particulières de A , calculées avec des valeurs équidistautes de la variable indépendante, est égale à zéro. Il est inutile