Première Partie. I^iivre I

d'ajouter qu'on a présumé l'intégrale indéterminée / Adv exprimée par un nombre fini de termes ou bien ])ar une série uniformément convergente.

Maintenant, si nous ne considérons que les deux premiers des cas indiqués vers la fin du n° 33, nous concluons, en vei'tu du théorème énoncé tout à l'heure, (jue la valeur moyenne de jy cos (tt — F) est égale à x et celle de rj sin (- — F), égale à zéro. Dans le deuxième cas, il faut changer X en /„ et F en B„.

La valeur moyenne de rj^, (|ue nous allons désigner par rjl, n'est pas égale à x^ mais bien donnée au moyen de la formule

(19) yfi, = x^ + xl + xî + . . .]

cependant, puisque le module x (ou bien, dans le second cas, le coefficient x„) est plus grand que la somme des autres coefficients diastématirpies, le carré de / est à fortiori plus grand que la somme des carrés des autres coefficients. Il s'ensuit que la partie prépondérante de v^^ est égale à x'', de sorte qu'on pourra, lorsqu'il ne s'agit que d'une exactitude limitée, mettre x''' à la place de rjl .

Cela étant, si l'on introduit, dans l'équation (43) du chap. I, au lieu de rj\ >jcos(-— /') et îy sin (- — /'), leurs valeurs moyennes indiquées ci-dessus, on arrivei-a h l'équation

aii—x"-)

I + X cos ((I — ç)v — f)

c'est précisément l'équation de la courl)e périplémati([ue qu'on a considérée dans le n° 4.

Cette courbe, ayant été employée déjà par Claikaut comme une sorte d'orbite intermédiaire de la lune, je la nommerai courbe de Clairuiit. Elle n'approche pas, il est vrai, assez de la trajectoire de cet astre pour être adoptée définitivement à cette fin, et en conséquence, elle ne sera pas d'une importance particulière comme orbite intermédiaire, mais elle nous sera toutefois utile, lorsqu'il s'agit d'évaluer, moyennant des approximations successives, la longitude d'une planète dans son plan instantané. Eu effet, ayant calculé, pour le temps z — r^ , ' la valeur de /' d'après

' On doit s'iinagiiier la variable ^ du chapitre III iileutiliée avec z.

128 Traité des Orbites des Planètes.

les formules du 11° 4, on trouve l:i longitude demandée en vertu de l'expression

valeur avec laquelle on passera aux approximations suivantes.

Dans le troisième cas, les valeurs moyennes des fonctions jy cos (tt — B) et 7] sin {- — B) sont, toutes les deux, égalées à zéro, vu que ces fonctions s'expriment au moyen d'agrégats périodiques sans terme constant. Mais avec ces résultats, la courbe de Clairaut devient tout simplement un cercle,

ce qui nous indique qu'on doit, dans le cas envisagé, égaler l'angle f à

(i — ç)rt ''(r— rj.

Etant ainsi arrivé à une valeur approchée de la longitude v, dont

l'erreur sera, dans les deux premiers cas, inférieure à + - , mais dans le

troisième cas n'excédera pas les limites + -, ou aura, moyennant une approximation nouvelle, une valeur de v très approchée de sa vraie valeur. Pour élucider la portée de cette nouvelle approximation, mettons

Vg étant la valeur préalable de v .

En introduisant, dans les équations (19) du chap. I, cette expression de V, et en développant suivant les puissances de Ar, il en résultera:

Tj cos (-—/•)- X + C [x^ ç—a, r— 7?,] ( rj

-^'S[x«(c-^,) ç-^. /■-TJ.K-.J-...,

rj sin (-—/') = — S[;r, ç — «■,, /'— /),](('(,)

-T^'Ck(ç-^„) ç-a, /-7,',](.J + ....

Dans ces développements, qui dans le premier cas donnent immédiatement les valeurs de tj et ;:, on doit remplacer x par x„, ç par <t„ et /" par B„ pour avoir les formules applicables au second cas. Dans le troisième cas finalement, ou déduit des équations (16) les développements que voici: