Première Partie. Livre II

a G , F , . . . mais appartenant à la seconde planète: alors, il sera facile d'établir l'équation que voici:

G + ;r = (i — ç) - («'C + n'T) — nT + X +

ou bien la suivante:

Pour abréger Fécritui-e de nos formules, nous admettons les notations:

/il — ç

L = çr(/'- .1) - (/" - A'); L' = f^r - A') - {!' - A),

= {i-ç')\j t{nT-X)-{n'T-X'); IV = (i ç)["l(«'T'-X') -(„T-A')'|,

V = ç(;; — w) + L; V = ^-'{v' — w') + L', notations qui entraînent les relations

L = — çrL'; L' = — çr'L,

U = — çrU'; U' = — ^'TT.

Avec ces notations, l'équation (2) s'écrit de la manière suivante:

(5) G + rr — A=- f^'(G' + tt' — A') + U',

d'où l'on tire, en la multipliant par ç et en ayant égard aux relations (4):

Des résultats obtenus, on déduit facilement quelques autres, non moins symétriques. En effet, puisqu'on a:

13G Traité des Orbite? des Plauètes.

et de même:

on obtiendra, en vertu des équations (5) et (5') les suivantes:

Maintenant, si l'on se rappelle les équations (9) et (10) du u° 26 et l'équation (25) du n° 32, on parviendra facilement aux résultats que voici:

(7) G + --r = i>-co + ((I-F), (7') G'+ -■— r'= r'— co'+ {Q — F'),

oti il faut remplacer les quantités G — F et (t' — F' par les développements

G — F = 5i sin F + /?.,sin 2F + . , . ,

G'— F' = B[ sin F' + B!, sin 2F' + . . . ,

les B'„ étant ce que deviennent les B„ lorsqu'on y change rj en r/.

En introduisant les valeurs (7) et (7') dans les équations (6) et (6'), on obtient:

(8) G + ;r — r = (/{v' — co' + G' — F'j + L' + U'

= V + F'(G' - F') + U', et de même:

(8') G' + -' — r = V + ç (Ct — F) + u .

Cela étant, si l'on porte, dans l'équation (20) du n° 30, la valeur

Y = v — co — - + r,

on aura un résultat qui peut s'écrire de la manière suivante:

(9) e""<'-'"' = X;;"'(^)e^'""'^^-''' + Xr'()y)e'""+'>'«-^^-''>-"^-'' + . . .