Première Partie. Livre II

OU l'on a mis en évidence la fonction cliastématiqiu; rj, qui fin-ure comme variable indépendante dans les expressions des Xj,'"'; et, si l'on chani^-eait v on v' . o) en co', . . . , ou trouverait le résultat analogue

(9') e""^'-> = X\:"\ri')e'"'<"'+^^'''> + ....

Finalement, en remplaçant les angles G -\- tv — F et G' + ~' — J^' par leurs valeurs données au moyen des formules (8) et (8'), on arrivera aux relations cherchées entre les angles v — w et v' — co' .

4 1 . Avant d'effectuer les substitutions indiquées, il convient de chercher de nouvelles relations entre le.s arguments dont il s'agit. D'abord, admettons la notation

(10) H = F' — G' — ^-(F — G), eu sorte que nous ayons:

H = ^jBj sinF + B., sin 2F + . . . j

— B[ sin F' — B; siu 2F' — ....

La fonction H, s'écrivaut, par la définition, ainsi:

H = çr(G + ;r) - (G' + -') - ^^(F + rr) + F' + tt', on obtient, eu vertu de la relation

G + ;r = f{a' + r) + A — f-'.l' + U', qui découle immédiatement de l'équation (5), le résultat

(11) H = - çr(F + -) + F' + -' + ç.^l - .1' - IT. Ensuite, si l'on admet encore la notation

on parviendra de même à l'expression

(II') H' = - ^'(F + r') + F + r + ^'/l' - A - IV.

Evidemment, les fonctions H et H' sont liées entn^ elles par les relations

Traité des orbites absolues. |3

138 Traité des Orbites des Planètes.

Les relations entre les arguments diastématiqnes que nous venons d'établir au moyen des équations (ii) et (ii'), nous rendront des services importants dans la suite. Nous les employerons, cependant, sous une forme, un peu différente. Pour y parvenir considérons les valeurs

qui découlent immédiatement de l'équation (25) du n° 32; en les introduisant dans les équations (11) et (11')' nous arriverons aux résultats

(13) ^' — -'1 = - ('' — •' ) + ~rir^ •

On a ainsi obtenu des relations très simples entre les longitudes simultanées de deux planètes. Maintenant, pour obtenir de pareilles relations entre les longitudes m et o/ des périhélies moyens, il ne faut que se rappeler les formules

ç(^v — A) = oj — r\ <^{tf — A') = w' — r ;

en multipliant l'équation (13) par ç' et, l'équation (13') par ç, on obtient alors :

(14) co'-r=i,^^{co-r) + ,'^^,,

(14') œ-r^'-'-ico'-n + ç"^-^.

Ici, on peut encore remarquer les relations

v'—(d'— A' + r= Jv — A — ^(w — jT) ) + H + U,

et aussi les suivantes

v'— co'— A' + T' = /i(i — ^')(v .1) + H + U, ,) — r,j — ./| + 7' = ' (i — ç)(^/ — .1') + H' + U',

qui remplacent, toutes les quatres, les équations (11) et (11').

l'ieniièrc Partie. Livre II. 139

Au moyen des rehitioiis signalées, ou parvient ii exprimer les arguments V et V par les formules

(15) V = ?/ — w' — H — U; Y' = V — io — H' — U'.

On voit, puisque les fonctions H , U , H' et U' sont e.\priniées au moyen d'agrégats périodiques, que l'argument V est isocinétique avec l'argument diastématique de la seconde planète, tandis que V est isocinétique avec celui de la première.

Par des procédés, eiitièrement analogues avec ceu.\ par lesquels nous .sommes parvenus aux équations (14) et (14'), nous obtenons aussi les relations suivantes entre les fonctions h et //':

42. Kevenons maintenant au développement (9), et introduisons-y la valeur de l'angle Ct + ïï- — F selon l'équation (8). De la sorte, nous aurons immédiatement:

(17) e'-mc--) x<;"(yy)e'"'l^'+^'(«'-^''+'-''J

I x(™Y^^g'■f""+l)[v■-^^-■cG■-^■)+^r]-,■(;T-^)

et de même:

Or, en se rappelant le développement (17) du chap. III, et en y mettant, au lieu de X, les valeurs m(f', (h; + ^)f' ■ ■ ■ > il ^^'^'^ facile d'exprimer les fonctions e"'""~"" et e""i"-'"> au moyen de termes trigonométriques dépendant, dans le premier cas, des arguments v' — co' et V, et dans l'autre, des arguments v — co et V.

140 Traité des Orbites des Plauètes.

Dans ce but, admettous les notations (i8) /7,„,„H-;. = -'^T'('?')e''"'+'*'''"'''"'''*''^'"''"',

ce qui nous permet d'écrire:

(ig) e""(-'"» = //,;,, „e""(^+^-> + /7;,,,„,,e'<"'^"'^'+^"' + ■ • •

+ //:,,„ie'""-"*'"+'"' + . . . ,

Posons ensuite:

(20) 2-:'''"+''(5y , r/) = X|:'"(5y) ro™+/--'i(^')e--(-'-^/")-.>(-/'i^ (20') v^'""+"(^' , ri) = X;"{yj') in,-,.+;.„(^),-,.c.-/V.M.'-/''.^

et maintenant, les fonctions //,„,„,.„ et //,',, ,„+,i s'exprimeront au moyen des formules

+ 2'T+'"(V' ri)e-"-"' + l'fîf +"(>?'- ^)e-^""-'"' + .-,

Ayant c'gard aux formules (ig) et (21) du chap... III, on parviendra finalement aux expressions suivantes donnant les fonctions 2':