étant un nombre quelconque

En désignant par k le produit a.^ ^ et en développant les deux facteurs, dont est composé le second membre de l'équation précédente, nous aurons:

+ x^XV)e-'" + X'^l(>7')e-"" +

Le premier des facteurs mis en évidence s'écrit ainsi : et le second, en vertu de l'équation (8'), de la manière suivante:

Traité des Orbites des Planètes.

donc, en développant les exponentielles dépendant de la différence G — F, nous aurons pour l'expression du facteur dont il s'agit:

+ X'-\{ri)é

(;r-/")-nV + I')

Maintenant, si nous écrivons:

+ E,e-'-*^'+'^' + Ë;,e-^'*^'+^'' + . . . , et que nous admettions le développement

(26) E, = 7)|r'(r/, ^) + I)f{rj', ^)e""-'"' + J)r(:y', r;)r'<"-'"^ + . . .

+ I)%[rj', r;)e--"'-'"' + inir^', rj)e-'"^'-^ + . . . ,

s et r étant des nombres entiers, les fonctions /)'!'' seront exprimées au moyen de la formule

X{lT{rj)lT'\rj) + r/>(^)r/I>(r;) + . . .

Il nous reste encore à exprimer, par un développement suivant les puissances de 3^^ et de :y''\ le coefficient de l'exponentielle imaginaire qui entre dans la formule précédente. Si, à cette fin, nous nous rappelons les équations (19) et (21) du chap. TTI du livre précédent, et que nous admettions les notations

Preniii're Purtic. lAxrc II.

yUA.„^sv',r-n , ^>..„ ^sv',.-»l

y I /..M sip,r-,i I A )i ei.',r-7, . X.i, sv.r^nl

nous parvenons à exprimer la fonction /) an moyen de la formule suivante

(29) Df{yj', rj) = (- i)V/^^-e-'X.-r)-n(.-/')

X [e^'-e,,, - ee,..,)^^ — ei^^e^o^'^ + ...].

Ainsi, on a établi le développement de la fonction e'"'^ suivant les multiples de V et de v — co , mais ou parvient à ce même résultat d'une autre voie, que je vais indiquer rapidement.

En partant de l'équation (24), ou écrira immédiatement celle ci:

e'«" = j lT{rj) + ïT{ri)e"' + l?>(^)e^"- + . . .

X}ir('^')+ir('?')^^''-^"'"'-"'-'"''+---

et si l'on y introduit les valeurs des différents e""*"-'"' selon l'équation (19'), on tombera sur l'expression suivante de la fonction E^ :

TiaUô dca orhifr.'i al/solucf:. \[)

146 Traité des Orbites des Planètes.

seulement, si l'entier s est égal à zéro, on doit emplo3'er la formule que voici:

Ensuite, si Ion porte, dans les formules obtenues, les expressions des divers n,,,^, tii'ées de la formule générale (21), qu'on effectue les multiplications indiquées et qu'où rassemble finalement tous les termes multipliés par e''*''~'"*, on parviendra à l'expression de la fonction D'-^'[r/, tj) qui suit:

Bf{i, rj) =

+ ir(r/)r-=-^(^', ^)e^'<^'-^'+ mXr/)SrW, ^)e-^'<^-^'' + . . . + . . .

+ Y^^\r/)Ezr{vi\ r;)e''<-^'^+Y^^,{vi')rj,{yj', vf)(r''^^-^'> + ... + . ..

Dans le cas où l'on a s égal à zéro, il faut encore ajouter à l'expression précédente le terme

YfXrj)Y\;^iyj')e-^'^'^-^K

e-rn^-n yo-^y^)

+ e-*'-'"<'^-'''If li(r;;

+ e-<^+'""^-'''lT^^,(ry)

^^.,r-vK.-nY['l,{rj)