ir(--i'i -l'(A

'lT{ri)ir{rf]

Je ne tiens pas nécessaire de développer algébriquement la formule (30), vu que les développements numériques de son deuxième et de son troisième facteur s'obtiennent très aisément, l'un suivant les puissances de yj'^ et l'autre suivant celles de fj'"'. Les expressions de ces facteurs établies, on parviendra immédiatement à la forme de l'équation (29).

En changeant rj en rf , yj' en jy et ^ eu <f', et en désignant par X le produit a^' , on écrira immédiatement les équations

K = m'ir] , r/) + BTirj , r/)e'-'-^ + A" (r; , r/)e^-'-'"' + . . .

+ //I\(, , r/)6-'^"-"" + iniri , )5')e"''<' -'"' + . . . ,

X llTXy) ir-'('7') + iViV) n!!,'(>7) + . . .

l)arfaitemeut analogues aux é(juatious (25), (26) et (27).

1 tS Traité (k'S Orbites des Planètes.

44. Après avoir établi les résultats du numéro précédent, il sera très facile d'opérer la conversion y énoncée. En effet, si l'on désigne par p et (i deux nombres réels, positifs ou négatifs, il s'agit de trouver le développement, suivant les multiples des arguments V et iv — <y), de la fonction

,,piCV'+UH7i(e'-u<')

OU réciproquement, celui de la fonction

gP/(V+U)+î;(»-™)

suivant les multiples de V et de (v' — a»'). Ces deux conversions étant tout-à-fait semblables, nous ne nous occuperons cjue de la seconde.

Quant au second facteur de l'expression dont il s'agit, on parvient immédiatement à son développement en vertu de l'équation (19); celui du premier facteur, (pion peut mettre sous la forme

s'obtient en utilisant l'équation (25'). On conclut ainsi, en admettant la formule

(31) e'"'^+"'+'"<"-°" = P;,„e'"'^"+^"» + p;,,,,,ef"+'«'''^^'' + . . .

l'expression suivante des fonctions P,',,^^^, A" étant un entier positif ou négatif:

(32) i\,,,, = e'"<"'-"' je;//;, + £;., //;,^, + f:;., //;„+, + . . .

Ensuite, si l'on introduit, dans la formule indic|uée, les expressions des fonctions E' et //' selon les équations (26') et (21'), et que l'on suppose:

l'reiiiii''iv l'artie. Livre II. 1 l'.t

k's f()nctit)ns S'/'*, / c'tant un nouvel entier, seront données iiu moyen de la lorraule

(34) ^V'iri , r/) =

l>r irj,ri')}:r' {ri,i)+inU{ri,ri')r"î[ (ry,r/) + 7/,V, (r;,r/)2'- (^,V) + ...

+ Dfs:Xrj , r/)ir'\yi - V') + Dt-^\^ , i)^V"^'iri , r/) + . . ,

+ Z)<iV\>7,r/)2r-\r,,r/) + Z)l!t;'(,y,y)2r'->(,7,r/) + ...

+ Dr-\ri , ri)^V"'(ri , r/) + J>\^-.'\y] , r/)i:"^+\rj , r/) + Df^'{ri , r/)i"-/^(^ , r/) + ■ • .

+ D\^-^\rj , r/)lV'\y] ,r/) + /)f J:/>(, , y]')^-"^'\rj ,r/) + ... + ....

Pour mettre en évidence le facteur exponentiel, on devra introduire, dans la formule précédente, les valeurs des fonctions I){rj , yj') et 1'{yj , yj), telles qu'on les obtient en vertu des équations (27') et (20), en y mettant des valeurs spéciales au lieu des indices r , s , m ,11 et v . On parvient ainsi à un résultat de la forme générale

(35) S?''(^ , rf) = (- xYrj'r^^'-^^-'^^-''^^-'''R^}{ri , rf),

Ii{rj , Yj') étant un développement suivant les puissances ascendantes de tj' et de jy'^. Je ne juge pas, toutefois, nécessaire de chercher les coefficients de ces développements, en les représentant au moyen des formules générales, vu qu'on les ol)tiont assez aisément par des procédés purement numériques, tandis que leurs expressions algébriques seraient très compliquées. Par des considérations tout à fait semblables aux précédentes, ou bien, en changeant tj en rf , rf eu yj , etc., dans les formules (31) — (35), on obtient les expressions suivantes que je mets eu évidence, seulement pour fixer les notations à employer:

150 Traité des Orbites des Planètes.

(31') g„i(V+ir,+,«.'-,./, ^ p^,^,^e^'(v + r) ^ P„,„ + ,e" + '«^'+''^ + . . .

(33') ^.„+.- = ev^'^-'"{^l'\i, ri),+ ^fii, ^)e'"-"'> + . . .

(35') s-^X'y'. rj) = (- i)^-,'v*-^-"*'^''^'-"''-''''^l^î(V> ^)- .

45. Je vais aborder un dernier problème appartenant aux matières du chapitre présent, savoir le développement de l'exponentielle

suivant les arguments G + tt — -T et (i' + ;r' — F'

On parvient assez facilement à la résolution de ce problème en considérant les relations

v' — io' = (y -\- tt' — r + F' — G',

En effet, la somme de ces égalités donne tout d'abord:

V + U = CV + tt' — T' + ^^(F — G), d'oii l'on conclut ensuite:

(36) e-'*^'+^'> = e"""-+''-^"'{Xr"()y) + zr^'>(îy)e-"^-^'+'<«+'^-^' +'. . .

ce qui est, évidemment, le développement cherché. On trouve également la formule analogue

(36') e'»'('+u') ^ e"'««+^^^' [Xr^'''('7') + Xr''(3y')e-'"^"'''+"-'+-- ''"' + ■ • •

et en vertu des expressions signalées on déduii'a, eu égard aux équations