Première Partie. Livre IL

(9) et (9'), les développements des fonctions ç'C^^v+u) +„(«-<«)) ^^ g,(m(V'+ii)+«(f suivant les arguments G + r — F- et G' -f- "' — ^' Finalement, je mentionnerai l'expression

(37) .--" = \X^i\yj) + X«'(:7)e-'--^'+'<«+^-^' + . . .

+ X!^l(3y)e'<^-"-«^'+'^-^' + . . .j X ÎA'î;"()?') + x<!^,(^')e-'"^'-'^''+"''+^"'"' + • ■ •

qui dérive, immédiatement, de la définition, et où l'on a placé X au lieu du produit a<f - On en tire, en remplaçant a par a(f' , et en désignant le nouveau produit a(p' par X' :

(38) e"'» = {X;r'(r;) + Ar(o2)e-<'^-^>+'"^'+^-^' + • • •

développement qu'on pourrait d'ailleurs trouver en changeant, dans l'équation (37), a en — a, r; en rf , (p en <f', etc.

46. La dérivée de la fonction H par rajjport à une des variables V ou v' s'exprime d'une manière remarquable qui mérite d'être mentionnée. Pour y parvenir, rappelons-nous les relations

d'où il vient:

Avec cette expression et l'expression analogue de G' — F', on déduit la valeur suivante de la fonction H:

d'où l'on tire par différentiation

ilW , ,dv rudC , dX\ , ,./y'dC , dX'\

,^„'- v-v — v,^„ i ,;„ '^jW V s;^^^^^. -Trf^-y

152 Traité des Orbites des Planètes.

Le rapport --- , qu'il faut remplacer par son expression eu termes connus, s'obtient de l'équation {13')- On en tire, en effet:

(39) j7 — - + I ç [d^- + dv'

I f ' idR (l\J

fi I — ç \dv dv'

et si l'on porte cette valeur clans l'équation précédente, on ol)tiendra, en considérant' la valeur

M réc|uation que voici:

dv " ^^ ''Hdv ^ ' dv \ dv' ' "^ rft;' /

^ "*"■ dv) [dv' "^ (?i7/ ■

ndC , , (ZX\ /cm , d\]\ Ï7

Mais en vertu des notations qu'on a employées dans les u"'' 25 et 26, ou aura, en écrivant:

p ^= yj cosF; p' = r/ cosF',

les valeurs

w(^C (' — rj''f- . ii-'dC (i— '?T

Hv ~ (I +"pj^ ' dv' ~^ ( I + p'y '

En les introduisant dans l'éc^uation précédente, on parvient au résultat

I dR <p dH'

I — ç' dv I — ç' dxi

(i+^.r (i+^y-1- dv

du(niel on tire.', sans ijeine, l'expression de -r-- «u bien celle de -■-, . Eu ' ^ d,v du

Pirinii'ip Piirtic. Livre If. 153

négligeant les ternies drpendant des fonctions X , X' et U , ainsi que le dv

produit de y-r par c', termes qui réellement sont peu considérables, on

retient:

On aura de incine:

dv II. du \\l — fj^l \^ + fi

Ces deux équations pourront, dans certaines occasions, être assez utiles.

Traitt' des orbites absolues. 20

154 Traité des Orbites des Planètes.