Première Partie. Livre II

Dans l'état réel des choses, ces fonctions renferment pourtant aussi des inégalités, ce qui amène, dans les expressions des cos nH, des termes d'autres formes que celles qui y sont produits par les termes élémentaires

^^ à ) j^ ' s' ^^ j^ ■ four séparer les deux espèces de termes, nous allons

chercher l'expression de h, donnée immédiatement comme fonction des quatres quantités mentionnées.

Dans ce but, rappelons-nous les formules (59) du n° 23 qui donnent, après y avoù* remplacé v — G par v :

cos b cos / = cos V + - .sin i'\\ + f) sin 9 sin (v — 9),

cos h sin I = sin v sin P[ï + f) cos 9 sin (v — 6).

On aura de même:

cos// cos?' = cosv' -j- -siui''(i -j- f) siu 9' sin (v' — 9'),

cos// sin /' = siu v' siu <''(i -f- f) cos 9' sin (v' — 9').

En introduisant ces expressions dans l'équation (2), il en résultera: cos iif = cos (v — v') — - sin /^( i + f) sin (v — 9) sin (v' — 9)

— -sin i'\i + f) sin (v' — 9) sin (v' — 9')

+ ^sin f-' sin/''^(i +!')(• +f') cos(9 — 9') sin(v— 9) sin(v'~9')

Mais puisqu'on a identiquement:

sin (v' — 9) = sin (v — 9) cos (v — v') — cos (v — 9) sin (v — v'), sin (v — 9') = sin (v' — 9') cos (v — v') + cos (v' — 9') sin (v — v'), cos (9 — 6') = cos(v — 9)cos(v' — e')ros(v — v')-|-sin (v — 9) sin (v'— 9')cos(v — v') + sin (v — 9) cos (v'— 9') sin (v — v') — cos (v — 9) sin (v'— 9') sin (v — v'),

180 Trailé des Orbites des Plauètes.

on déduit facilement, en considérant les équations (46) du n° 22 l'expression que voici:

(9) cosi/ = cos(v-v)-j-(i+t)3 +3(<+t).) -4(i + ;,xi + .^)'^^.^^^7

-^(I+f)(I+f')^5^5'ieos(v-v')

, (I I + f , '^,^ I I + f ., àj I (I + f)(l.+ t),a^, t-^s'

' 2 I + j/'' fiy 2 I + J '^ fiu' "^ 4 I + f/ ''' '^ (iy'

1(1 4- f)(i 4- f) ,2 rfs 1 . , ,.

-4 TTl^-^ -^ii^"^^^-^)

Evidemment, si l'on retranche cos (v — v') du second membre de l'équation trouvée, ou retient les termes constituant la fonction h; en négligeant les ternies du quatrième degré, on parvient ainsi à l'expression

(10) Il = - ^ ^' + V'-') cos(v - V') + \ (,5|j5. 5' J^j sin (v - V') + 35'.

Maintenant, si l'on se rappelle les expressions des fonctions V''„ , qu'on a données dans le numéro (49), on déduira aisément, avec la valeur signalée de h, les expressions suivantes:

cos2^ = -3^ — ,5'^

+ (l-r-r)0OS2(v-v')

-f 435'cos(v — v'), cos 3// = — 3(,5^ + ,^'') cos (v — v')

+ (i-^r-|r)eos3(v-v')

+ 633'cos2(v — v'),

Prcinière Partie. Livre IL 181

— 4(V + f) ^os 2(v — v')

+ 8,li' «^'os (v — v'j + 83,5'cos3(v — v'),

cos 5i/ = — 5(3' + f) cos (v — v')

— 5(f + 5")cos3(v — v')

+ Kê-4)^-5(v-v')

+ I oy^' cos 2 (v

+ 105,5' cos 4(v

cosôH = — 3(3- + f)

— 6(x + f)cos2(v — v')

— 6(5' + f) cos 4(v — v')

+ (> — 35' — 3f) cos 6(v — v')

+ 1 253' cos (v — v') + 1253' cos3(v — v') + i233'cos5(v — v'),

182 Traité des Orliites des Plauètes.

cos 7// = — 7(,f + f) cos (v — v')

— ZCf + H'îosSlv — V)

— /Cr + f)cos5(v — v')

+ i455'cos2(v — v') + i43,5'cos4(v — v') + 1455' cos6(v — v').

Nous nous arrêtons ici. En cas de besoin, on écrira immédiatement les expressions analogues des cos nH appartenant aux valeurs du nombre n plus grandes que 7.

Cela étant, nous désignons par {]) et {]') les parties élémentaires des fonctions 5 et j', c'est-à-dire, les sommes des termes élémentaires et sousélémentaires s'y trouvant. Mettons ensuite:

de sorte que d'^ et 03' signifient les sommes des inégalités auxquelles sont soumises, les latitudes des deux astres. Désignons finalement par {H) ce que devient // lorsque d^ et (?3' sont égaux à zéro, et admettons l'expression

(12) cos iiH = cos n(H) + M„ nx + M',, d}! + N„ '^ + N',, ^

+ F„or + F'jr + Qj^^+ Q:oy'^ + Rj^.oy.

Evidemment, si l'on introduisait, dans les exjjressions précédentes des co&nH, (j) au lieu de j et (3') au lieu de 3', et qu'on identifiât les fonctions (j) et (5') avec les expressions de 3 et de 5' qu'on a données dans le n° 23, on retomberait dans les formules du numéro précédent, lesquelles