Première Partie. Livre II

donneraient alors les expressions de cos «(//). Mais il faut encore déterminer les fonctions M„ , M'„ , N,^ , . . . , R„ .

A cet égard, nous faisons d'abord la remarque que M„ et M'„ sont de telles fonctions de {^) et (3') et de v et v', que, si M„ était connu, on obtiendrait il/', en changeant 5 en ]', 3' en j, v eu v' et v' en v. C'est de même quant aux fonctions N„ et N'„, P„ et P', , Q„ et Q'„, dont les P et les P' ne dépendent toutefois que de v et v'. En conséquence, il suffit de ne mettre en évidence que les M„ , les iV„ , les P„ , les Q„ et les i?„.

■ Voici les expressions des quantités dont il s'agit:

itf. =-(3)cos(v-v') + 3'^-^«m(v-v')+(3'),

^^2 = — 2(5) — 2(3) C0S2(V — V') + ^^sin 2(V - V') + 4(,0 cos (v — V'),

M,^- 6(3) cos (v - V') - 3(3) cos 3(v - V) + ^ ^i^sin 3(v - V)

+ 3(j') + 6(3')cos2(v — v'), M,^- 4(5) - 8(3) cos 2(v - V') - 4(3) cos 4(v - V')

+ 2 ^) sin 4(v - V') + 8(,0 cos (v - v') + 8(3') cos 3(v - v'), Jf, = — 10(5) cos (v — v') — 10(3) cos 3(v — v') — 5(5) cos 5(v — v')

+ ^'^^sin5(v — v') + 5(3') + io(V)cos2(v — v')+io(3')cos4(v — v'),

M^. = — 6(3) — 12(3) cos2(v — v') — I 2(3) cos4(v — v') — 6(3) cos6(v — v')

+ 3 ^ sin 6(v — v') + i 2(3') cos (v — v') + i 2(3') eus 3(v — v')

+ 12(3') cos 5(v — v'), M. = — i4(3)cos(v -v') - 1 4(3) cos 3(v-v') - 14(3) cos 5(v-v') - 7(3)008 7(v-v')

+ ^-^si"7(v — v') + i4(,V)+ '4(,5') cos 2(v—v')+ 14(0') cos 4(v — v')

+ 14(3') cos 6(v — v'),

1 84 Traité des Orbites des Planètes.

iV„ = '^(.Osin«(v — V'),

7\ =■-— ^cos(v — v'),

P.2 = 1 COS 2(v v'),

P., = — 3 COS (v — V) — ;^ COS 3(v — v'),

P^ = — 2 — 4 COS 2(v — v') — 2 COS 4(v — v'),

Pj = — 5 COS (v — v) — 5 ces 3(v — v') — ^ cos 5(v — v'),

Pg = — 3 — 6 COS 2(v — v') — 6 COS 4(v — v') — 3 cos 6(v — v'),

P„ = — 7 COS (v — v') — 7 COS 3(v — v') — 7 cos 5(v - — v') cos y{v — v')

Q„ = - Sill 91. [v — v'),

-B., = 4 cos(v — v'),

Pg = 3 + 6 cos 2(v — v'),

P^ = 8 cos (v — v') + 8 cos 3(v — v'), -

Pj. = 5 + 10 cos 2(v — v') -|- 10 cos4(v — v'),

P,. = I 2 C0S(V v') + I 2 cos 3(v v') + I 2 COS 5 (v — v'),

p. = 7 + 14 cos 2(v — v') -f- I 4 COS 4(v — v') + H cos 6(v — v'),

On pourrait encore exprimer les M„ et les N„ au moyeu des fonctions 1 sin {<2 — 0) , / cos {ii — &), r sin (i2' — 0') et F cos (i2' — 0'). Mais bien que les résultats s'obtiennent assez facilement, je les omets pourtant, vu cju'on n'a besoin cjue de quelcjues termes, lesquels ou chercbera, selon les circonstances des divers cas, séparément des autres.