Première Partie. Livre II

Certes, on pouiTait continuer le calcul de ces coefficients aussi loin qu'on voudrait; cependant, si n acquérait des valeurs plus grandes que celles que nous avons considérées, il serait plus aisé de déduire les coefficients suivants en utilisant le théorème de M. Tisserand, dont voici le teneur.

Soit:

sm(n+^i)H^ ^j„, ^ 2 2'iîi;;:cosà- + 2 2'/?[";cosy// + 4ÏSR\';'^cosixcosjy,

on aura, en vertu de l'équation

-rr sin(v( + i)H Bin(" — i)H

2 cos nii = ^ = : — =- — ,

sm H sm U

la relation

Q::] = \{m:]-Bfîn-

Or, M. Tisserand est parvenu à représenter les quantités B au moyen de la formule

^(,„ [jn-j + 2r- i'%n - j + aY ^ i'\ . . . [(» + .;V - i']

où, en supposant / + / — // pair et négatif, il a désigné, par F[a ,/?,;-, 1;) la série hypergéométri([ue de GtAuss: les coefficients demandés s'obtiennent ainsi d'une manière directe.

On voit par là que le coefficient Q^-[] renferme toujours le facteur H'v' , remarque qui nous sera utile prochainement.

53. Nous allons maintenant mettre la fonction cos// sous la forme de l'équation (13). Considérons, à cet effet, deux triangles sphériques formés, sur la sphère céleste, l'un par le plan fixe et les plans instantanés des deux planètes, et l'autre, par le plan des trois corps, le soleil et les deux planètes.

En conservant les notations du chap. II du premier livre, et en désignant par 2' et 2" les longitudes du noeud commun des deux plans in-

Traité des Orbites des Planètes.

stantanés, ces longitudes comptées dans les orbites respectives à partir des mêmes origines que celles des angles <t et c, et, par J l'inclinaison mutuelle des deux plans, on aiu'a tout d'abord:

(15) cos H = cos [v — 2') cos [v' — 2") + sin [v — 2') sin [v' — 2") cosJ,

ainsi que les formules suivantes:

sin - / sin - (2" — o-' + 2' — <'■) = sin - (6 — 9') sin - (* -f i'),

sin - J cos - (2' — c' + -^ — ^) = cos ~ (e — 9') sin - (i — i'),

cos - J sin - (2' — 0-' — (2 — a)) = sin - (9 — 9') cos - (i + i')' cos- Jcos- (2" — cr' — (2" — <t)) = cos- (9 — 9') cos- (i — i'),

et encore celles-ci:

( I 7) cos J = cos i cos i' -f sin i sin i' cos (9 — 9'),

sin J" sin (2 — a) ^ sin i sin (9 — 9'), sin J cos (2' — a) = sin i cos i' — cos é sin i' cos (9 — 9'), sin J sin (2' — <t') = sin i sin (9 — 9'),

sin J cos (2' — '^') ^ — cos l sin i' + sin i cos i' cos (9 — 9'). Maintenant, si l'on met l'équation (15) sous la forme

cos H = cos -J" cos {v — 2' — (v' — 2")) -f sin - J'^ sin (v — 2' + v' — 2"),

et qu'on la rapproche de l'équation (13), il s'ensuit qu'on doit mettre

/i = cos --P ; V = sin - J^ ;

Nous voilà donc au terme de nos préparations. Pour avoir les expressions des cos iiH, il suffit, en effet, d'introduire, dans les formules de