Première Partie. Livre II

d'où découlent immédiatement les relations:

ve

sin / sin /' + - sin i'\i ■}- i)e'''

+ -sin;'-(i + f)e '-

sin r .sin i-\ 1 + f)( I + f')(e> ""•' "' + e''

g-v/-,(r-.> --.) i ^j,^ ■ gin ^^v ^ i gi„ ,-2( , ^ f)e->'->('

/xe'

^siny-^sin/'=(i +f)(i + f')(e> ne-e,|.g-,' ue-e,-)^

- sin / .sin /' + i ^^i» '^(i + t)

— -sin/'=(i + f')lev'--.(e-e)

— -^sin i' sin i'\i + f)(i + f')(e> "" "' + g-v^uH-e))^

//e ''"'<- " '- "" ^ - sin /' sin /' + i — sin/^(i +

— -sin;''(i + f ) le->''"'«-«' 4 ^ M

sin i' sin /'••^(i + f)(i + f')(é* ""'"* + fi-' "«-«').

Avant d'aller plus loin, je remarque que la somme de la deuxième et de la quati'ième des équations (20) donne immédiatement:

cos(e — e') = cos - J^ cos (2" — o'—d — (7)) + sin -^ J' cos (i" — a-' + I — a)

= ces {!" — ff) ces (2' — a) -{- sin (2" — a) sin (2' — a) ces .7,

équation qui résulte d'ailleurs du premier des triangles spliéric[ues mentionnés un peu plus haut.

Mais revenons à l'équation (19), et introduisons-y les valeurs qu'on a données au moyen des équations (21). On obtient de la sorte:

(22) cosMff=^.4Jri — -sin/'(i +f) — -sini"(i + f')le*-"'-''> 4- - sin /' sin i' e^' '<''^''- ^^-e"

— Ygsin i' sin?-' Xi +f)(i +f)(ev'-.(v-v,^gv'-.(v-v 2>e-eo)

— -sin'isin;'e*'^''+'-«+e"

— ^smi'smi'\i +f)(i +f)(e''^'(>'+^-^e) |g/-,(v+v 5e-,^

+ 52^ I I I — " sin '■'( I + f) — ' sin '"( i + f )]e''""^'^'' + - sin '/ sin ;'e*'^'''-''-<8-8'n

— -j^ sin i' sin ;'''( i +f)( i + f')(e>'^'<'-''' + e"^'<^-''-2(e-6))-)j '' X j-sin^^i + f)e-»'^('+'-M, , Isi„;'2(i , p^g^/^ruvf.'-se')

sin i sin /■'e-v'^c+'-te+en

— -^sin^'sin?•'Xl +f)(i +f)(e-v'->('+v-5e)4 g-v'-uv+v-2e')|

+ 52^|ri — ^«iu»"'(i + f) — -sin;'=(i -j- f')V''^'<'-^' + - sin i sin /■'e-»'~'('-''-(e-ew

^ sin ?■' sin ?■"( i + f)( i + f ')(e-v'-.(v-V) ^ g-v'- . (v-v-2,e-e ,)>)

Cette foroiule se coutiaue ù la page Buivante.

Premii'ie l'aitic. Livre II. 193

-sin / sm I e

uv-i-T-ce+e'))

— -' siiu^snu'Xi+ï)(i+f')(e~*' "'^^■'■"+e"*"''^''^'"'''')

+ V,/jri --sin;^'i + f) — ' sin /■'-(! + f)1e^> ''^■-"''

+ ' sin/ siui'e-*'-"'^''^^^'^'"

sinrsiu/''-'(i +f)(i +f')(e"'' "'-^' + 6-*'-"^-^'--'»-

— \ sin /" sin /'e»'^(''+^'-<e + e')i

— ^siu/'sin;''^(i + f)(i + n(f'^''"^-+^'-'-'«' + e''"^^+''--'''')j'.

On voit sans peine que cette formule peut se transformer de mauièi-e à s'exprimer par les fonctions /e±* '*-'-'-'^> et i'e**''*--""' et par les aryumi'nts V, v', ,') et ,'>'. En effet, si l'on se rappelle les formules

siu;e±^^^'« = Ie±»'-"^" + "-'^' + ((C))e-*"', sini'e±*"'«' = 7 'e^*'^ ('>■+//-«■) ^ ({r))e*'\

qui découlent immédiatement des équations (31) du n° 32, on opérera facilement la transformation dont il s'agit, sans qu'il soit nécessaire d'en indiquer ici plus de détails.

Mais mettons encore en évidence l'expression de v, dont les puissances entrent dans les coefficients A. Dans ce but, nous reprenons l'écpiation (17), qui nous donne sur-le-champ celle-ci:

2v — - -sin/^(i + f) + ^-i^ii' ''"(i + i') — ^'" > '^i" '' ''os (G — 9')

— sin r sin/'' ^(î + f)(i -{- f).

Tmik' (Ifn orhîlcs ahsofuca. 25

Traité des Orbites des Plauètes.

Avec les formules (^ue nous venons d'établir, il seni ftieile, en con-

siiléniut l'équation (14) ainsi que les valeurs des différents Q)"',,, déformer

les expressions des cos»//. Ainsi par exemple, on obtiendra l'expression

de C0S2//, en portant, dans l'équation (22), les valeurs

Le calcul effectué, on retrouve, en effet, le résultat dont nous avons donné, dans le n° 50, les ternies du de^'ré zéro, du deuxième et dti quatrième degré.

Ainsi, en partant du théorème de M. TissKiiAN'n, on a établi la théorie complète de la transformation des cos«//.

54 Arrêtons nous encore <à quchpies relations qui pour diverses raisons peuvent avoir de l'intérêt.

Si nous mettons l'expression de cos H sous la forme

(2 3) cos H = A cos (' cos r' + B^ sin ;-' sin r' -|- ^ 1^ cos (■ sin v' + B sin v cos v',

il sera facile, en considérant l'équatiein (15), de conclure les valeurs suivantes des coeff'icients:

A = cos ^^cos(i' — r) -i shi ^ J'' cos (2' + 2"),

;>'^ = cos l J' cos {!' — 1") — sin { J' cos (i' + l"),

A^ = — cos ' J' sin {!' — 1") + sin { .P sin (2' + 2"),

B = cos ,' ./' sin (2' — 1") -f sin ^ J' sin (i' + 2").

Prpiuièro l'artlc. Livre II. 10,"

Mais on obtient aussi ces coefficients, d'une autre manière qui nous

permettra de reconnaître leur signification gx'ométrique. Si nous introduisons, dans l'cciuation (i), les valeurs suivantes;

- = a cos V -{- j3 sin r ,

- = et, cos /• + yi, sm V ,

- = a.^ cos 1) -\- li.^ sni r ,

ainsi que celles ci:

~ = 7. COS V 4- ,{ sin r' ,

^ = a, cos V -f- y^i sin ;' ,

— = o.., cos /' + ^i., sin r ,

nous parviendrons facilement à exprimer les coefficients A , B , .. . moyennant les formules

Il = ari' -r a^[i\ -\- a., fi'..

Ajoutons encore les formules suivantes:

/' = ay' + 7,;-; + c(,;-.:,

^'s = rf + r.r; + hh-

Traité des Orbites des Plauètes.

Les quautités a , /? , . . (-'tant données de la manière la^plus générale par les équations (d), (d') et (d") du n° 17, ou peut toutefois les adopter telles qu'on les a déterminées par les équations (o), (à') et [o") du u° 21. Mais si l'on veut que le mouvement des axes dans les plans instantanés soit uniforme, on doit employer les formules (D), (D') et (1)") du n° 22. Cependant, si l'on met l'angle v à la place de v, et v' à la place de v', de sorte qu'on aura:

(25) cos H = A cos v cos v' + B^ sin v sin v' + A^ cos v sin v' + -B sin v ces v',

il est clair que les valeurs (o), [o) et (o") doivent être mises en usage. Ainsi, on pourrait exprimer les coefficients dont il s'agit au moyen des angles i, ï , 9 et Q' . Mais ou les obtient aussi, par une remarque assez simple, exprimés comme fonctions des angles J , I et 2". Eu effet, rien n'empêche qu'on ne considère pour un moment, comme invariables, les angles y', cr' et 9', et qu'on suppose alors:

ce qui revient à supposer le plan fixe mobile et coïncidant avec le plan instantané de la seconde planète. Cela posé, on reconnaît facilement que i devient égal à ■/ , rr à 2' et 9 à 2". D'où s'ensuivent les valeurs

ce qui fait que les coeff'icients A , A^ , . . . deviennent égaux aux coefficients a , c(j , . . . , bien entendu qu'on introduise, dans les expressions (d), (d') et (d"), les valeurs tout-à-l'heure signalées de i, a et 9. Voici les expres.sions qu'on obtient de la sorte:

A = cos 2' cos 2" + sin 2 sin 2" cos ./, B = sin 2 cos 2" — cos 2' sin 2" cos-/, T = sin 2 sin ./,

A^ = cos 2' sin 2" — sin 2' cos 2" cos-/, 7>j = sin 2' sin 2" + cos 2 cos 2" cos-/, 1\ = — cos 2" sin J,

Pr('nii('>!'e Partie. T^ivre II.

Â., = — siii 2' >iii '/, 7>'j = cos 1' sin J ,

[ J\ --= cosJ.

un

Maintenant, rien de plus facile (jue de voir l'identité des expressions de A , Jj , U et 7<, avec celles q\ie nous avons données par les écpiations (24),

En conséquence des résultats obtenus, il s'entend que les coefficients A , Aj , . . . signifient les neuf cosinus servant à transformer les coordonnées rectangulaires rapportées au plan in.stautané de la pren\ière planète eu d'autres appartenant au plan instautané de la seconde, et vice versa.

On peut encore signaler la formule

(pii n'est (pi'une simple conséquence de l'équatiiui (22) du n° ig.

198 Traité des Orbites des Phinèles.