CHAPITRE TH

Divers développements procédant suivant les jniissatices des fonctions diasténiatiqaes et des fonctions a nastéin atiq u es.

55, Dans ce dernier cliapitre du livre présent, nous allons nous occuper du développement d'un produit de la forme générale

(i) i^'s"' = p^p'^ cos il II,

p et p>' étant les fonctions qu'on a déterminées par la formule (20) du u° 9. Nous remplacerons ensuite les arguments entrant dès le début dans l'expression signalée, ])ar d'autres, isoeinétiques avec eux, atiu de n'avoir finalement que des arguments dépendant d'une seule variable. ]Mais avant d'exécuter les dites transformations, nous nous arrêtons un moment en jetant un coup-d'oeil rétrospectif sur la nature des développements que nous venons d'obtenir dans les deux derniers cbapitres et en vei'tu desquelles s'opèrent les transf(.)rmatious demandées.

D'abord, les expressions des cosw// établies dernièrement sont finies ou visiblement convergentes, bien <(ue nous n'en ayons mis en évidence que les premiers termes. Il n'y a donc |)as lieu de se soucier de la convergence lorsqu'il s'agit des développements suivant les puissances des fonctions anastéraatiques.

C'est autrement lursqu'il s'agit des séries procédant suivant les jinissances des fonctions diastématiques. Certes, une partie de ces développements ne forment que des polynômes finis, et parmi les développements infinis il y en a qui convergent, les fonctions diastématiques ayant des valeurs n'importe quelles entre zéro et l'unité. ]\Iais une autre partie de ces développements Ki ne jouissent pas d'une convergence absolue, tant que les valeurs numériques des fonctions diastématiques ne sont pas inférieures à une certaine limite. C'est d'abord le développement de la différence des angles F et (t qui cesse d'être convergent, ce développement procédant