Première Partie. Livre II. 9j

(n + 3-i/lV

Vi-l-wV

Cette rormule se continue a la page suivante, rrfiifc' des orhilcs absolves.

nS Traité des Orbites des PLiuètes.

J Ly,3y,'4„3;(:r-/')-4i(,T-/")+.i[(n-3)r + 3»->»u]y n -i(«-4-.)V

1 J^ „•" '4 «'îr-/-) + 4,\^-/")+i[(n-l)f+,„-,„„'] y n i(„ + 4-.)V

' 12SV V '' ■^"-n~4,-«-4 + .e

T^ I2SV V '^ '^"-«-4,-n-4 + »':

| ! y,3 '4 -3;(T--/')-2i(;r-/')+,:[(« + 3)t^3<u-m«]y/7 „-Hn-1-v)Y

I ' 3 /4 -3n-^r)+2l\--/") + i[('i + 3)i'-3u<-na.]'y ri ,;(„ + 2.„)V

T^ 32 V V '^ ^~'J-ii + 2,—n+i+v'^

4- A y^3^^,4g,-,.-/', + 2ù.--/") + ff(»-l).+»-W]5^^^__^^^^^^g-i(n + 2-.)V

+ A ^3^,4gi(.-/')-2n.T-/",+i[«-i).+.--,™'j i:/7„+o,.„+2+„e-*'-^-''^' + ^ ^^^'4g3,x.-r,+,ï<„-3„.+3,„-„.i5;;^___^^^g-,:(„wv

Première Piirtic. Livre II. 219

"'"JZ/y p-H.^5-.)V

I2S ' ' ■*-" — )i-3,— K-S + yt^

' 64 / / ■^''-ii + 3,-,i + 3+«C

+ ^5yVV'^'-"^"'+'"<"-'"''L/7

220 Traité des Orliites des Planètes.

+ --.y,y/V''"-''*"'''<"'-'"'+*''-'"'+'"-""''JE/7 • ^-K«-6-')V

^ 64 VI ^ ^//„ + 4,-„ + 4 + „e

'^ 128 /> ■^'^-„2,-n-2 + vC

^^ 128 '' ■^"— n— 2,-n— 2+vC

+ f ^^'^■■^-'■'^'1'"-""+'— jZ//.

Cclt- runiiiilt' se conÉimii' â la p;i]

Pieinière Partie. Liviu II,

5 7- L'expression (3) s écrivant aussi comme il suit: (5) />>"'6>('-"' = ~^fr/'

+ - e ■''"~2'('^-'')-«X'^-/")+Jt(«+s-3)(B-,»)-«(»-'.

J+sX:»--..,')]

^ig-/s(r-n-,(5'o,(.T/",+,[(„+sx»-<.)-»(.'-«)+cs-2)(„--„)]

on en tire, en mettant V au lieu ,1e V + U', les fornu.les «lue voie

222 Traité des Orbites des Planètes.

Evidemment, il n'est pas nécessaire de continuer ces formules; car, les formules (4, s, s') étant établies, on en déduira immédiatement les formules (6, s, s'). En effet, pour avoir l'expression (6, s, s') du produit p^p'^ é""-"~''\ il suffit de changer, dans l'équation (4, s', s), p , tj , v , w , F, TT et fj en p\ -q' , v' , w', F', tt' et /7', et vice versa, et encore, n en — n.

Aux expressions que nous venons de donner, il y a lieu d'ajouter quelques remarques. Les voici:

1°. Les sommes, entrant comme facteurs dans les seconds membres des équations (4, s, s') et (6, s, s'), doivent, évidemment, être formées en attribuant à l'indice v les valeurs des nombres entiers à partir de v =■■ — cno jusqu'à y ^ + c>2. Donc, si l'on s'arrête aux termes du septième degré, on prendra, en considérant que les diverses expressions renferment le facteur rl'rj"^ ,

si .s + .s' =■= o : V = — 7 , — 6 , . . , — 1,0, + 1 , . . + 6 , + 7 ;

si ,s' + .S-' = I : y = — 6 , — 5 , . . . — 1 , o , + 1 , . . + 5 , + 6 ;

si *• + s' = 6 : y = — i , o , -f i , si s + s' = 7 : y = 0.

2°. Dans les formules (4, s, s') figure encore l'argument w', qui n'est

pas une fonction de v mais bien de v' , et, dans les formules (6, s, s'),

l'argument to , qui est une fonction de v. On remplacera, cependant, en

utilisant les relations (14) et (14') du n° 41, lo' par l'argument fi-co,

isociuétique avec celui-là, et w par --10'. En effet, la première des rela-

tions mentionnées conduit à l'équation que voici:

Preiiiièie Partie. Livre H. 223

et l;i seconde de ces relations à celle-ci:

On aura, en introduisant ces valeurs dans les formules (4, s, s') et (6, s, s'), des expressions dépendant seulement de v, ou seulement de v', pourvu qu'on y ait fait dépendre H + U de v, et H' + U' de v' . Mais encore, rien nempêche, afin de rendre les arguments exempts de termes périodiques, de développer les exponentielles suivant les puissances des quantités très

petites ç r et c • tependant, ces opérations saiiectuant sans

aucune difficulté, je ne m'y arrête pas.

3°. Lorsc^u'il s'agit de développer la fonction

A étant un agrégat périodique dont nous supposons la valeur toujours très petite, les formules cjue nous avons mises en évidence s'appliqueront encore; il faut seulement mettre, dans les formules (4, s, s'), w' — A au lieu de u)' , et, dans les formules (6, s, s'), co -\- A au lieu de w. Finalement, on pourra développer les exponentielles suivant les puissances de A . Ainsi, par exemple, le développement de la fonction

s'obtient facilement, vu qu'on a:

et que G — G' s'exprime moyennant un agrégat périodi([ue dont la valeur est peu considérable.

58. Pour arriver à la forme définitive des développements dont il s'agit, il faut (ju'on introduise, dans les formules des deux derniers numéros, les expressions des fonctions // et //' telles qu'on les a données par les équations (21) du n° 42, et ensuite, qu'on remplace les fonctions I[7/,7j) et I{-^ , r/) par les développements (22). De la sorte, on obtiendra les produits, envisagés dans les numéros mentionnés, développés suivant les

-24 Trait.^ des Oi-Ijitcs des Planètes.

puis.sances des fonctions tliastt'niatiiiues. Povir donner un exemple du calcul dont il est question, je vais spécifier les détails relativement à la transformation de e'"(''-"''> .

On aura d'abord, en partant de l'éijuation (4,0,0):

+ l'z;'-"+'(^', y/)e-'<'-"' + . . .]e-'("-'>^ + [I^"'-"'-\r/, rj) + lT"'-"-\ri', ,y)e"-'»' + . . .

+ i:i;''-"-'(jy', 3y)e-'"'-'"' + . . .]e-'*"+'»^' + [2'„-"'-"+=(r/, ri) + ir'-"^\ri', r;)e'"-'"' + . . .

ou bien, en considérant l'équation (23) du n° 42:

+ 2T(V, 37)6^'"^-'''-^"-'"'+ ...]e-""^' + [2'r'-'(^', ^)e-="^-'''+ I'!:r'(^', y^^^^ii^-n-M^-n+.^-,o, ^

+ 2";'"-'(^', ^)e5,(.-/')-2,(.-/")-,ï..-,». ^ ^ jg-n«-i.v

+ 2";'" + ' (y/, ^)e=.(;T-/')+2«.~/")-.-(,.-,„i ^ ^ j^,-,<«+in' + [2'-"-'(;y', ^)e-^'<^-^"' + lrr-{ri\ ^)e-^'^-''>-^^<--'' '+'<-'") + . . .