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Traité des Orbites des Planètes.

Log

yl.n

o.oi 1466

Log - ;-;•" Log - 7-.V" Log - f

Log- ri'

Log- 7-5" Log- rè"

Saturne et Neptune.

U r anus

et Nept

4. Les ti-anscendantes 5y|" étant liées aux j-]-" par la relation

(a) 3y!-''-(2ï + '»)rl" + 2(,-+ iV;.":,

on a obtenu, au moyen de cette formule, les valeurs numériques des quantités dont il s'agit. Cependant, pour établir des vérifications immédiates, on a aussi utilisé une autre formule que je vais déduire.

Dans ce but, j'introd\iis, dans la formule signalée, la valeur de ^]" exprimée comme fonction de /91,+|", et j'obtiens, en considérant la relation

»/'i + H+l Pi + n Pn-n

la foi-mule que voici:

aVÏ

'•^•••^''—^«"""{(2/ + i)/91ïr' + {n

qui donne les oy] " indépendamment des j-]'".

^WiV),

Je remarque d'abord la formule spéciale très simple qu'on en tire en égalant à l'unité l'indice n, savoir:

Mais il y a un autre résultat auquel je veux parvenir encore, qui s'obtient en remplaçant les deux transcendantes yS^+t^' et /î^+t''* P^i" ^^^ ■tî'ois /^+S> fi+t-\ e't j^+7-i, ce qui s'opère facilement en vertu de la formule (b). Il résultera en effet la formule suivante:

On en tii-e deux f onnules spéciales à deux termes, en y substituant : h = i et H ^ 2 j + 2 . Les voici :

/i \ '^1-1 I ■ 3 ■ ■ ■ I 2i. + l) 2,--i/^-;i + 8) ^Cîi+lh

(d, 2) -ÎJ, — -^ 2i "^ U'3' + l /'3, + l j-

Evidemment, la formule (d, i) se dérive immédiatement de la formule (c, i).

La formule (d), bien qu'elle ne soit pas aussi simple que la formule (c), jouit de l'avantage de donner les 57)" moyennant d'autres ti-anscendantes yS^"' que celles qui avaient servi aux calculs des j-]'". On en tire donc des vérifications, non seulement des résultats qui se rapportent aux transcendantes Tj]", mais encore des valeui-s qu'on a déduites des ;-]•".

Il convient d'illusti-er, par quelques exemples numériques^ l'usage des formules que nous venons d'obtenir. Voici d'abord, à cet égard, le calcul

de la valeur de -jyl", en adoptant la valeur de a telle qu'elle se ti-ouve

appartenant à la combinaison Mercure — Vénus. On aura tout de suite, en

consultant la table des /5i''

log?/5^'" = 1. 158378; log^^g'^ = 1.072997; ^ogl^P = 9-942732. Il s'ensuit:

i«d!A"^-v/5r' + Lr h 0.537394;

Traité des orbites absolues.

26 Traité des Orbites des Planètes.

et puisqu'on a encore:

loga^ = 8.370903,

l«?îzll= 9.436858,

le résultat sera:

log;,'?!'" = s. 345 155,

Dans un second exemple, nous avons calculé poui- la combinaison Saturne — Uranus la valeui- de -^yj'. En vertu des nombres que donne la table mentionnée, on a obtenu:

log^/9</) = 0.68488; log-y5f' = 0.20122; log-/î^/^ = 0.21071

On en tire:

logU/îf) — ^/5^^) - ^af^\ = 0.21 127 ,

ce qui donne, en considérant les valeurs:

log^= 9-49485,

log a^ = 7.26929, le résultat

log - 'yà' == 6-97541 •

Tous les deux résultats sont concordants avec ceux qu'on va trouver dans la table des lyj", car les différences enti-e les résultats des deux calculs ne montent qu'à une unité de la dernière décimale. Il est inutile de multiplier ici le nombre des exemples communiqués bien qu'on en ait calculé plusieurs.

Cependant, pour ne pas être obligé d'effectuer le calcul de toutes les ti-anscendantes ^] ", d'après deux différentes formules, on a mis en usage, pom- les vérifier, un autre procédé. On a, à cet égard, utilisé la relation générale

vT" — '?r-:1 + - - - ± r^r = n (rr — rT-, + . . - ± r'r) + 2 (i + I )rix\ ,