LIVRE CINQUIÈME

Développements numériques des fonctions perturbatrices

relativement aux actions mutuelles des huit

planètes principales.

Le fondement des calculs dont les résultats vont être communiqués dans les parties suivantes de notre travail, est constitué par les valeurs numériques de certaines ti-anscendantes qui ne dépendent que des rapports des divers protomèti'es et de nombres entiers. Il convient, pour cette cause, de donner une exposition assez complète des calculs de ces ti*anscendantes, ainsi que des méthodes ayant ser\"i pour vérifier les résultats numériques. Voilà l'objet des communications du premier chapitre.

Dans le deuxième chapitre, nous allons déterminer les coefficients apparaissant dans les développements des fonctions perturbatrices qui correspondent aux différentes combinaisons des huit planètes principales, ces développements étant ordonnés suivant les puissances des. fonctions p , p', ■fj^ et jy", et encore suivant les multiples de l'angle K. C'est donc de la forme fondamentale des développements dont nous allons nous occuper dans le deuxième chapitre; et les coefficients dont il s'agira sont cetLx que nous avons désignés, dans le livre III, par les symboles ii(w,s,s'), P(«,s,s'), Q(« , s , s') , E(« , s , s') , P'(m , s , s') , Q'(« , s , s') et R'(» , s , s'), etc. On y va trouver non seulement des valeurs numéricjues des quantités signalées, mais encore des expressions algébriques servant à leur- détermination numérique.

Les réductions des développements fondamentaux à la forme diastématique seront opérées dans le troisième chapitre. On va donc y trouver les valeurs numériques des coefficients qu'on a désignés par A(p , p', s , s', «),y,

Traité des Orbites des Planètes.

B(p , p', .s , s", «)»y , C(p , p', s , s', n\y , A(p , p', .s ,.s', n)ly , B(p , p', s , s', «):„., t'(p , p', s , s', »).!y- Ayant obtenu ces coefficients, on est arrivé au point où commencent les opérations destinées à eiïectuer les intégrations que demande notre problème.

CHAPITEE I.

rafeiii'.s tiHiiicriques des tfansceuflantes qui dépendent de,s rapports

des protontètres.

I . Le point de départ des calculs dont il s'agira dans le présent chapitre sont les valeurs numériques des divers protomètres. Ces éléments absolus n'étant pas connus eu toute rigueur, on en a obtenu des valeurs a.ssez approchées, en leur identifiant les valeurs des demi grands axes des orbites keplériennes, telles c^u'on les a trouvées dans les travaux qui remontent vers le milieu du siècle actuel. Ainsi j'ai adopté les valeurs qui, dans le tableau suivant, sont données par leurs logarithmes.

Log (/

Mercure 9.5878217,

Vénus 9-8593378,

La Terre 0.0000000,

Mars 0.1828970,

Jupiter 0.71 62371,

Saturne 0.9794960,

Uranus 1.2829083,

Neptune 1.4776562.

Les valeurs que je viens d'indiquer sont à très peu près identiques avec celles qu'on trouve dans le second tome des Annales de l'observatoire de Paris. Cependant, par des Investigations plus récentes. Le Verrier est parvenu à déterminer des corrections à ajouter aux valeurs signalées, et aussi M. Newcomb vient-il d'indiquer des • altérations assez considérables

cpi'il faut faire subir aux valeurs des distances moyennes des deux dernières planètes. '

Mais bien que j'eusse pu avoir recours à ces nouvelles déterminations, j'ai jugé plus convenable de m'en abstenir. Et cela pour plusieurs raisons.

Les protomètres étant liés aux moyens mouvements par la formule

= n - VAi + m),

où l'on a désigné par f une constante dont la valeur ne change pas jjour les diverses planètes, il s'entend que cette valeur de a n'est pas identique avec le demi grand axe déterminé moyennant lu formule

a = n " Jf(i + m) -\ a

employée par Le Verrier.^ D'autre part, on n'aurait pas, non plus, été à même, en suivant les procédés de Hansen, de parvenir à une détermination parfaite de l'élément dont il s'agit. En efïet, puisque Hansen a développé, suivant les puissances du temps, l'inégalité qu'on a appelée variation séculaire de la longitude moyenne, et qu'il a réuni, au movcn mouvement, une certaine partie de ce développement, il s'ensuit que le moyen mouvement ne sortii'a pas purement des observations, en les comparant avec la théorie de Hansen.^ En conséquence, la valeur du moyen

' Voici, d après les indications du »Berliner Jahrbuch», les logarithmes des demi grands axes des diverses planètes,

logn Mercure g. 58 78 2 14, Vénus 9.8593366, La Terre 0.0000006, Mars 0.1828932,

Jupiter 0.7162168, Saturne 0.9802194, Uranus 1.2837 100, Neptune 1.4787334. " Annales de l'observatoire de Pari.s, T. X, p. 7. Dans la formule mentionnée, ou a désigné par a une quantité constante, de l'ordre des forces troublantes.

■' Dans la controverse qui éclata en l'année 1855 entre Encke et Hansen sur la uotion du moyen mouvement, c'était donc l'opinion du premier qui fut correcte. On le saisit immédiatement par le seul fait .que la variation séculaire de la longitude moj'eune

6 Traité des Orbites des Planètes.

mouvement déterminée de la sorte ne saurait être employée pour obtenir celle du protomètre.

Mais encore, même si les moyens mouvements avaient été déterminés avec une exactitude qui ne laissât rien à désirer, les valeurs des protomètres tirées de ces mouvements n'auraient pu être dépourvues de toute incertitude. En effet, puisque les valeurs des diverses masses, qu'on a adoptées en déterminant les a, étaient affectées encore de certaines erreurs, les résultats déduits de la sorte auraient été, nécessairement, erronés des quantités qui y correspondent.

En revanche, après avoir déterminé les valeurs définitives des protomètres, ce qui est un des sujets de notre travail, il sera facile d'introduire, s'il est nécessaire, des corrections dues aux altérations qu'ont subies les valeurs des protomètres adoptées préalablement.

Par ces raisons, il n'y avait aucunement lieu de chercher sci'upuleusement, en abordant le calcul des transcendantes dont il s'agit, les meilleures valeurs possible des divers a.

En vertu des valeurs des protomètres que je viens de signaler, il s'ensuit les différents rap])orts a. qui, par leurs logarithmes, sont donnés dans le tableau suivant. On y a ajouté les logarithmes de quelques autres quantités qui dépendent uniquement de ces rapports.

Planètes

Log «

Log «''

Log(i — «')

Log -j

Mercure et Vénus

Mercure et la Terre

Mercure et Mars

Mercure et Jupiter

Mercure et Saturne

Mercure et Uranus

Mercure et Neptune

s'exprime par des fonctions périodiques sans contenir quelque terme séculaire. Il s'ensuit encore que les inégalités déterminées par les méthodes de Han.sen renferment des développements qui procèdent suivant les puissances des rapports d'une certaine partie finie du moyen mouvement, bien qu'elle puisse être très petite, aux diviseurs d'intégration (diviseurs linéaires). Si l'on va assez loin, ou tombera donc sur des développements divergents.

Par le principe adopté, la théorie de Hansen ne peut pas être considérée comme une théorie absolue, ce qui n'empêche pas qu'elle ne satisfasse aux observations assez longtemps.