Deuxième Partie. Livre V

CHAPITEE IL ie déveloitpenient fondamental.

lo. Le tyjDe général des développements fondamentaux est donné par l'équation (;-) du n° 94 (Livre III). On y est arrivé en exécutant diverses opérations, dont nous allons maintenant rappeler les principaux traits.

En employant toujours les notation qu'on a mises en usage dès le commencement du chapitre II du livre mentionné, nous avons:

(-) i-SZ

=zzz

ii{n , s , s')o.„ — Q{n , s , s')i,,î2' +

+ fi(«,s,s')o.,27"~

p^p'^ coswfl,

les ii(n , s, s')^y signifiant certains coefficients dont nous avons' donné, dans le chapitre cité, les expressions analytiques. Ensuite, si Ion désigne par D ce que devient A lorsqu'on remplace H par w , la relation entre H et

w étant celle-ci:

cos H -\- cos w + h ,

et qu'on établisse le dévelojjpement

la fonction W^ est encore donnée par le développement signalé de -~ , pourvu qu'on y remplace l'angle H par l'angle w. Les autres fonctions

Traité des orbites absolues. 9

Traité des Orbites des Planètes.

W„, s'obtiennent en vertu de formules tout à fait analogues à celle que nous venons de signaler. On a en effet:

+ r'"(o,s,s')o.iV' — +

p^fj'^ cosmv,

les coefficients r"'(w , s, s')„,, étant donnés par la formule (35) du n° 80.

La méthode de calculer les coefficients dont il s'agit qui est fondée

sur la formule citée, permet une application très facile toutes les fois qiae

le rapport a a une valeur sensiblement au dessous de - ; mais si ce rapport

atteint des valeurs près de la fraction mentionnée, ou bien que ces valeurs la surpassent, l'application de la formule citée devient désavantageiise. Il faut alors recourir à d'autres méthodes, et on en ti'ouve déjà les germes dans quelques passages de notre première partie: d'abord dans la remarque à la fin du n° 79; mais encore dans l'introduction des nouvelles transcendantes ?9"'", ainsi que dans l'équation (42) du n° 81, équation dans laquelle on a supposé les Û'" (w , s , s'), ,• exprimés moyennant les êf'" . Mais avant de nous occuper en détail de ces méthodes, étaldissons quelques relations générales.

Soit:

j = f/t'") + 2 U["'^ COS W + 2 f7f;'> COS 2W +

et nous aurons, par l'équation (i) du n° 74, l'expression que voici:

(Jim+l)

qui se remplace, en vertu de l'équation (36) du n° 80, par celle-ci: