Deuxième Partie. Livre V

Dans cette formule, les W-^^ sont les coefficients du développement (35) du n° 69, savoir:

W„ = W-;'^ + 2 TF*/"' cos w + 2 TF'"" cos 2w +

En com])arant cette expression avec le développement (B), il deviendra visible que les différents TF^"'^ sont aussi exprimés par les diverses parties du développement mentionné, en sorte qu'on aura:

(b) wir'=^^

formule qui est donnée déjà par l'équation (34) du n° 80.

Or, les fonctions Ul',"^ s'expriment facilement moyennant les coefficients qu'on a désignés, dans l'équation (42) du n° 81, par îi'"{n,s, s'Xy] on sera donc à même d'établir, en vertu des relations signalées, des relations entre les deux espèces de coefficients, les )'^"'''(«, s, s'),„. et les i^'"\n , s , s').,y .

Pour y arriver, écrivons l'équation (42) du n° 81 de la manière suivante :

u^r'=yy

L</'"'(«,s,s')o.o — i"r(n,s,s')Ko5?' + ■•■ + ... -...

ce qui revient à avoir employé la notation introduite par l'équation (3), et, changé, un peu, la signification de l'indice m. On a, en effet, mis 2)n + I à la place de m dans le premier membre de l'équation (42) du n° 8 i . Maintenant, si l'on compare l'expression (c) avec celle qu'on obtient en introduisant, dans l'équation (3'), la valeur (b) de TF"S,"'' ainsi que celle-ci:

/rt,\ "■ /a'\ '" I , », m(m+i) , , Il , ,2 , mlm+i) ,, ,

Kx I . I m(m—i) .j 11 I . , m{in—i) ,, |

X|, +n>p + ; 3 ,^ +..|ji + >n,o + \^ P +.- ,

68 Traité des Orbites des Planètes,

il s'ensuivra la formule générale :

(4) ir{n , s , s')„,, = '■'■■■'^ ^ et'"

X I } ('« , S , s'),y + m V'in , s — i , s').,y + ?«}•'"(« , s , s' — lly

+ m[r"(»^, s, s'X,., + >«)•-"(«, s— I , s').,,„. + . . .] + «*[}•'"(« , s , s')..„.i + mJ'"'{n , s— I , s')„y. + . . •]

La formule réciproque, donnant les }"'"(«, s, s'), „• au moyen des i2"'(tt, s, s')„„, a été exposée déjà jjar l'équation (20) du n° 86.

II. Venons maintenant à déterminer les i2"'(w, s, s'),y au moyen d'opérations directes.

Déjà à la fin du n° 79, on a indiqué une manière convenant à la détermination des coeiïicients i2'"(« , s , s')„„., sans toutefois enti'er dans le détail de la méthode qui en résulte. ' C'est relativement à cette méthode que nous allons ajouter, maintenant, quelques remarques exjDlicatives.

Dans ce but, considérons la manière dont sont formées les expressions

/f\ " /a'\ "+i des produits (- ) f-j 0„'', tant qu'elles sont données par la formule (14)

du n° 76. Par l'analyse exposée dans ce numéro et dans ceux qui précèdent, il est visible que 1 expression dont nous venons de parler est formée en multipliant le développement

^n — /" T\ X i li X • • • '

après y avoir remplacé la quantité ^ et ses puissances par leurs expressions ' On en a fait, ceiJendant, une application dans la note page 455, livre III.