Deuxième Partie. Livre V

(r \ " /a'\ "+' - j ( - J . Il est

aisé de voir, par cette remarque, que, si l'on multiple le développement

- j ( — j , on obtiendra un résultat de la forme

où les i2„,(w , s , s')„^„. sont les mêmes fonctions des transcendantes ^:'"+'''' que le sont les i2(H,s,s'),y des transcendantes y]". On a donc avant tout la formule

(5) i2J«,s,sV = ZH,%V,rr^''",

expression dont la formule (24) du u° 78 peut être considérée comme un cas particulier.

Après avoir établi de la sorte les coefficients Q„, on par^^ent aisément à représenter les ii'" par des développements analogues. Il suffit en effet, pour y arriver, de multiplier, par

(a'\-"* I , 2»?, 2»l(2î« — l) ,, Il 2»!, - 2m(2»n+i) „ I

l'expression précédente de fJ,„ (« , s , s'^ ,■ . Donc, en admettant le dévelopjjement

(6) i2"(n,s,sV = ZH:;;V,rr'+''",

on aui'a la relation

(^\ TXm,n,i TT".' a-^"^R'' , 2»t(2m-i)^-„,.

KJl -°-s,s>,/ — JJ^s.s',»,/ "r j ^^s.s-i,!,!-' "1 ^~^ -n-s,s-3,v,»- "T • • ■

2JH

2W(2W+I) I rrn , ^i U „,< , 1

70 Traité des Orbites des Planètes.

Evidemment, on pourra aussi, poui- le calcul des i2"', employer la formule

(8) i^- (n , s , s')„„. = ii^ (« , s , s'),. + ^ i2. («, s , s' — .)„,, + .. .

+ ^{^^m(«,S,sV-l + • • •}

et en sorte, éviter les coefficients îigs"'ly- Cependant, puisque l'emploi de ces coefficients peut être utile quelquefois, j'en vais donner les principaux.

12. Les coefficients H"'s->,„., étant toujours des nombres entiers, sont donnés dans les n°" 77 et 78 de notre première partie.^ On en a déduit

' La liste des coefficients dont il s'agit dans le teste, étant étendue jusqu'aux valeurs de s , s' , V , v' qui satisfont à la condition

j'ajoute ici, d'après les calculs de M. Dickman, les expressions des coefficients suivants relativement auxquels on a

Hâ:" = - ^ (n=+3H^ + »*-3«'-27i^), Hï;" = ^ (n'-n'-3n' + n'+2n'), B.1:t = —-l-{n'-s>^' + Sn' + S»' + 6u"-),

HÔ';2 = ;^(îl^-9u'+25ri*-I57i.'-26»l'+24«),

Hs.i = Y^(2M'-l-3S'i'+24o»' + 8o5Jt''+ 1318)1 + 840), H'sa = — ^ (6n'' + 85)(' + 48o»'+i355)('+igi4)i + io8o),