Deuxième Partie. Livre V

En les introduisant dans les expressions des divers ii"'{fi , s , s')^„ , on obtiendra de nouveaux polynômes, en les ti'anscendantes yT"^^'" , dont les coefficients seront évidemment identiques aux H"s"'v,v'> seulement se représentant d'abord sous une forme différente de celle que nous avons établie plus baut. Ces résultats s'obtenant immédiatement, il suffit d'en expliquer la déduction par un exemple.

Supposons, dans le but considéré, qu'il s'agisse de la déduction du coefficient ii{n , 6 , o)|,o, et qu'on en veuille transformer l'expression, donnée dans le numéro précédent, à la forme de l'équation (6). En introduisant, dans l'expression mentionnée, les valeurs des divers {)]•", il viendra:

+ ^ »(■« — 2)(w — 4X« — 6) I ri

+ {344 + 120W + M[n — 2)]Y\''' + [240 + Z2n\rY + 64r6'",

formule, dont les coefficients des divers y]'" ne sont autre chose que les Hj'o. H serait, en effet, très facile de prouver l'identité des deux expressions que nous en avons établies, mais il j^arait bien superflu d'en reproduii'e le calcul ici.

De la manière indiquée, on a vérifié un certain nombre des coeô'icients dont il s'agit; quant à la vérification des autres de ces coefficients, on a eu recours à la méthode du n° 13. Par ces procédés, on a en même temps

92 Traité des Orbites des Planètes.

contrôlé les entiers qui figurent, comme coefficients, dans les formules du dernier numéro.

17. Il nous reste à établir les expressions des coefficients }'""(«, s, s\,. comme fonctions des transcendantes ?9,"'". Eemarquons d'abord que nous ne sommes obligés de chercher ces expressions que si l'indice m est plus grand que zéro, vu qu'on a, en supprimant toujours cet indice lorsqu'il est égal à zéro,

Pour arriver aux expressions des )'"' appartenant à d autres valeurs de w, reprenons la formule (20) du n° 86, livre III. En adoptant les notations

A'"{n , s , s'),,,. = Q"'{n , s , s'),,„. — mi2'"(w , s — i , s'),,,.

+ ^^^^^n",s-.,s'X,-..., B-'in , s , s')„,, = A"'{n , s , s').,, — niA^in , s , s' — i),,,

la formule mentionnée prendra la forme

= £'"(«, s , s'),„ + niB-{n , s , s')„,,, + '^^ B'"{n , s , s').,,, + . . — m I £"•(« , s , s'Xy, + viB-in, s, s').,,: + Hl^^ B-{n, s, s').,,,, + . + ^T^iB'-C" , s, s'),,-2 + mB"'{n,s,s'l,y, + . . .}

En vertu de cette formule générale, on aura sur le champ les expressions particulières qui suivent: