Deuxième Partie. Livre V

i8. Afin d'établir une dernière vérification des expressions que nous venons de metti'e en évidence, je rappelle à l'équation (43) du n" 90, livre m. Je vais maintenant élucider l'usage, pour le but proposé, de cette équation par quelques exemples.

Supposons d'abord: m = o, s = o, s' = 3, v = v' = o; l'équation à laquelle je rappelais nous fournit immédiatement de l'expression que voici:

En y introduisant les valeurs, exprimées en les >9, des i2 (w , s , s')o,o > q^ii pour m^=o sont identiques avec les r(M,s,s')„o, nous retrouverons l'expressions de }'(«, o, 4)0,0 = i^(« , o , 4)0,0 donnée plus haut. En effet, la somme des huit coefficients qui figurent dans le second membre étant égale à

zo»]-" + Se,?;" + 646*^'",

il est immédiatement visible que le résultat qu'on obtient en divisant ces termes par 4 est identique à celui que nous avons donné dans la liste du n° 15.

Dans notre second exemple, nous admettons: »k= i, s=i, s' = 2, V = y' = o. Or, la formule mentionnée nous donne d'abord:

3)"(w , I , 3)0,0 = — 2[7"(« , 2 , 2)0,0 — y\n , 2 , i)„,o + r\n , 2 , o)„,o] ; le calcul du coefficient demandé s'effectue donc de la manière suivante:

3a}-(«, 1 , 3)0,0 = — 2'9;'' — jo^l'" — 3o8,9.1''' - ^i^dl'" — 192»^ + 4 » + 44 » + 88 . + 48 »

— ib&Y — 22UY — 384'93'" — i92^V", d'où:

aî"(w, I , 3)0,0 = — i2^V'' — i6êY — I285J'" — 64<9I'",

résultat qui vérifie le précédent qui fut obtenu d'une manière tout à fait différente.

96 Traité des Orbites des Planètes.

Notre dernier exemjîle concerne le cas où l'on a choici: m =2, s^o, s'= I, v^v'^o. On a d'après la formule générale,

+ [>"(«, o, Oo.o— >'>,o,o)o,„],

d'où l'on tire, en considérant les expressions des }' qui entrent dans le second membre,

'- a'rxn , o , 2)0,0 = 3&r + 7&r + ^^r,

ce qui est en concordance avec le résultat obtenu précédemment.

19. Dans la note ajoutée au n° loi, page 455 du firemier tome, on a communiqué les expressions, en les j-f-", des }''(h, s, s')„o tant que la somme s + s' n'excède pas le nombre 2. Quand cette somme devient plus grande, le mode de calcul, qu'on a suivi pour obtenir les T rassemblés dans la note citée, n'étant pas assez expéditif, j'ai jugé convenable de mettre en usage un autre procédé permettant un calcul plus facile.

Dans ce but, j'ai eu recours à la méthode proposée, au n° 13, à la vérification des nombres H^;";^„.. Evidemment, si l'on introduit, dans les expressions données précédemment des l'"" {n , s , s'\y , les valeurs des ^f'" en les ^^"'+'-'', on obtiendra les coefficients dont il s'agit sous la forme qui fut employée dans la note que je viens de citer. Les résultats que j'ai obtenus de la sorte sont réunis dans la liste suivante.

a> (« , 3 , 0)0,0 = rv^ ri — {fi + 6w + 9) ri'

n'+5wH8H + 4 3„

— (4«+ ià)yr — 8rr, arin, 2 , 0„,o = """\"""">^- + (3»^' + i6« + 22)rr

ar[n, I , 2)„,o = - !i:±i!ijt5!^^^M (3,,. + ,4^ + ,7)^3.»

«r'(« , o , 3)0,0 = '-^^^^r'' + ("' + ^" + 4)rr + (4« + ^2)rr + Va".