Deuxième Partie. Livre V

„rV« , n\ — »'+i0"-^ + 35"'+5O" + 24..3.n I 2»'+2n'-+73" + S4 ,„

«^ l» , 4 , ojo.o - TTTTl '" "> 6 ^' ■

-f. (2„^ 4- i8« -}- 41);-^'' + (8« + 4 4V''" + '6^*'", „rV« , ,1 — i/ + 8»^+23/r-f 28w + 12, 4!''-r36. '+iioi;+ii4 3,,

"^ l" ) 3 , »Ai.o — 7 / 0 T"]'

— (8«= + 64» + I32);-^''' — (32;/ + i(>o)rl'" — 64rl-\

,,1, > it* + 6j('+ I 3,r 4- 1 2 i + 4 , , «} Y« , 2 , 2\„ = -^^ ^-rn'" + (2>r' + ,5»-' ^ 39» + 35);-^"

+ (i2/i^ + 84». + 1541^2'" + 148« + 2I6I;-''" + gô;'^'

*■' V" j * ) 3/0.0 — 7 To Ti'

— (8«' + 48» + 7à)rr — (32H + i28)rl'''~ô4rl'\

«/ l",0,4jo.o - 1.2.3.4 ^» ^ 6 ^'

=^ + (2«' + io« + i3)r''" + (8» + 28);-;'" + 16^,

ar'(«, I , o),.o = — in-' + 2n + Or^-" — (4» + 8);-^" — B;-^-", aY\n , o , .),.„ = (n^ + 3,1 + z)/,'" + (4« + io)rî'" + 8;-^'",

«^ (", 2, 0)1,0 = ~ — ri + [y + 14" + i7)ri'

ai'V, I , <)..o = — («' + 4«' + 5« + sj;-^'" — (6«' + 28» + 34);-^"

ar\n,o, 2),, = 'l!±4!i^l^M + (3,,^ + „„ + ,,),M

«)•'(«, 0,0)0., = {n + 2)rl-" + 2fr ,

Traité des orbites absolues, -i •?

08 Traité des Orbites des Planètes.

ar '(« , I , o)„., = — («^ + 3« + 2)-/'i-" — (4« + 10);-^" — 8f/',

cc)"(H , I , i)o., = — (/'■' + sir + 8». + 4);-^-"~|6«' + 32)1 + 44)r'i'"

— (2^1 + 8s) ri'" — 48rl'\

+ (i2« + 44)rr + 24r.

«r'(« , o , o),.„ = '-^rl'" + (^« + 3)rî'" + 4r?'",

-et } (w, o, oVo = r,' ,

lo^'nn,i,oU = -in + 2)rr — 2r]"',

ra^}-^»,o,o),„= (« + 2)rr+2rî'".

?a"r>,o,o)„, = (« + 3)ro'" + 2rr'-

Deuxième Pai'tie. Livre V. 99

Quant à k vérification des expressions obtenues dernièrement, je me suis servi de la formule 43 du u° 90, livre III. J'en ai tiré, par exemple, la relation suivante:

y\n, 3, i)o.„ + 4J''(» , 4, 0)0.0 = — 2 )■'(«, 3, 0)0.0, cpii est satisfaite, on le voit facilement, par les expressions données plus haut.

20. Si l'on avait calculé les valeurs numériques des i2'"(n, s , s')^,./ et des V" (n , s , s').,y , ce qui s'effectuerait aisément au moyen des formules que nous venons de rassembler dans les derniers numéros, il serait très facile d'en déduire les valeurs des P"'(« , s , s')„,-, des Q"'(» , s, s'),.,' et des E."" (« , s , s'), ,, . En efi'et, les relations que nous avons établies, dans le troisième livre, entre les coefficients mentionnés d'une part et les )''"(», s, s')„y de l'autre, constituent un algorithme permettant un calcul sûr et aisé. Cependant, pour plus d'une raison, il paraît convenable de représenter les coefficients P , Q et R au moyen de polynômes, tels que nous en avons employés pour exprimer les Û et les }'. Nous aurons ainsi des formules servant au calcul immédiat des P, Q et E, sans qu'on soit obligé de passer par les fi ou les )'. Mais les expressions que nous allons chercher maintenant, nous rendront, plus tard, de plus grands services encore. Convenons d'abord des notations suivantes

(13) P'"(>^s,s').,, = zp-;:tTr^>'",

(14) Q'"(«,s,sv = Tq-^::yjf

(15) R"'(«,s,s\, ^Zb:;;:;^,;^"

En rappelant l'équation (27) du n° 87, livre III, nous aurons immédiatement la relation

ce qui nous dispense de chercher, séparément, les R™;"'.î,./. Posons également:

(13') aP""(« , s, s').;. = TFl^C^.rl'"^''" ,

(14') aQ'"'(« , s , s'iy = SQ;':.-;;,;'^-^'-,

( 1 5'" aE""(?i , s , s'),,. = ^KxX-r^"""-" .

100 i'ifvité des Orbites des Planètes.

Entre les coefficients IV et Q', il existe une relation semblable à réquation (i6). Nous aurons en effet, en vertu de la formule (50) du n°9i,

Occupons-nous avant tout des coefficients appartenant à l'indice m = o, et supprimons cet indice tant qu'il conservera la valeur indiquée. Nous aurons ainsi:

(i3o) P(",s,s')„,, = TP^i^yrl'",

(i4o) Q(«,s,s'X,„ = ZQ;';'.„,,;-;.'",

(13;) aP(«,s,s')„.. = TP:y^^yr]-',

(14;) aQ(»,s,sV = ZQ:>;;,r!'".

Cela posé, si nous nous rappelons les formules (22) et (24), (48) et (49) du chapitre III, livre III, ainsi que les expressions, en les j"]'", des iiJ (» , s , s')„ „ qui remplacent, pour )ii étral à zéro, les ^'(» , s, s')„^, , nous aurons au premier coup d'oeil;

(17) Ps":i-.vy = (s + 0{H::/,,,,„,. + H;':^:,s>-i,. î,