Deuxième Partie. Livre V

aQ'(n,o,o)„., = nrY ■\- 2rY\

«Q'(« . 1 , 0)0.. = — «VJ'" — (4» + 4) ri'" — ^r\\ aQ'(» , o , i)„.. = («' — n)rY + (4» + 2)^1" + ir\

Les expressions des P et des Q dont les indices sont plus élevés que nous n'avions supposé précédemment, deviennent de plus en plus compliquées: par ce motif, et puisqu'on peut s'en passer sans inconvénient, ]'e ne les ai pas mises en évidence. Nous verrons d'ailleurs, dans ce qui suivra, d'autres modes de représenter les coefficients dont il s'agit, l'indice 11 étant quelconque.

Mais s'il s'agit d'évaluer les valeurs numériques de ces coefficients, on se servira avantageusement des formules (17) et (17'), poui-vu que les H soient déjà mis en nombres. Mais quant aux coefficients Q dont les expressions sont un peu plus compliquées, je remarque les équations

(19) Qs+i + 2Q, + Q,-, = r,^,,

{19') «q:+, + 2aQ: + aQ;,= r,+,.

La signification de ces formules se comprend aisément; elles dérivent immédiatement, la première de l'équation (24) et la seconde de l'équation (4g) [chap. III du livre III], et elles restent en vigueur quelles que soient les valeurs des indices non mis en évidence. On en tire, au premier coup d'oeil, des formules servant à calculer, de proche en proche, les coefficients Q.

Je rappelle encore à la formule (52) du n° 91 dont je me suis servi en vérifiant quelques-uns des coefficients P et P'.

2 1 . Avant de chercher de nouvelles expressions des coefficients P et Q, arrêtons-nous un instant pour rassembler ces coefficients exprimés en fonction des ;-, mais appartenant aux indices m égal à i et wi égal à 2. Au moyen des formules (22) et (24), (48) et (49) [toutes les quati'e du chap. III, livre III] on a obtenu les expressions suivantes, y ayant fait usage des }''(«, s , s')^,/ et }"\w,s,s'Xy qu'on a donnés, partie dans la note, page 455 du premier tome, partie au numéro 19.

aP'(" , o , 0)0.0 = — (« + Oro'" — ^fi

Traité des orbites absolues. 14

106 Traité des Orbites des Planètes.

aP'{n , I , o)„.„ = («' + 3n + 2);-^- + {^n + lo);-^" + Syl'" ,

aP\n , o , i)o.„ = —{n' + m + 2)rr — (4« + Io)r^'' — irl'\

0iV\n,2 , o)o.o = ^^ ^ ^^ro'" — (3»' + i8w + 27);-^''

aPi(n , I , i)„.o = {n' + 5«' + 8« + 4)ro''' + {an' + 32» + 44)ri'"

+ (24« + 88);-^'" + 48rr',

711/ \ H' + 4H'+Sn + 2 3„ , 2 , , ,

7i*+io/i.' + 3 5J(.'+50H + 24 3„ 4)i' + 42?(/'+i46n+i68 ,

aP (w , 3 , o)„ 0 = ^-^-^ r^' H ^ ri

+ (8,i' + 72« + i64)rr + [3211 + I76)r3'" + à^rl",

aP^(«, 2, i)o.„ = ^^ ^^ ;-^'"-(4«^+36»' + iiow + ii4);-?'"

— (24»' + 192" + 39à)rl-" — (96» + 480);-;'"— 192^^", aP'(w , I , 2)0.0 = ^ ^o' + (4» + 30«' + 78» + 70) rî'

+ (24»' + 168W + 308)r5'" + (96» + 432);t" + 19-tI'",

Tjw X n* + 411' + sn' + 2n ^„ 4n'+ 24n^+ sqh + s6 3„ af {;n , o , 3J0.0 = yTT;] ^0' } '"''

^8n' + 48n + 76)rr — {32n+ i28)rr — ô^yl" ,

aP^(«, o,o),.o = —(«' + 3» + 2)ro'" — (4« + ^o)fr — 8ri\

aP'{n , 1 , o),,o = in' + sn' + 8n + 4)ro'" + {an' + 32" + 44)^;'"

aP'(« , o , i),.o = — («' + 5«' + 8n + 4)ro'" — (6»' + 32n + 44^?'"

= (,4„ + 88) ;-^'" — 48rr,

«P'(w,s,s')„., = aP'(«,s,s'),.o,