Deuxième Partie. Livre V
ctP' (« , I , o),.„ = n'Cr + (4« + 4) :\'" + Kl-" , aP'(« , o , i),.„ = — n'Cl'" — (4« — 4)^|'" — 8Cl-",
«F(«,s,s')„,= aP'(«,s,s'),.„.
2°. En introduisant, dans les expressions précédentes des P et des P', au lieu des transcendantes tj et C, leurs valeurs en les transcendantes y , savoir :
on doit retrouver les expressions que nous avons données aux n°* 20 et 21. Par cette voie, on a obtenu une vérification ultérieure des formules mentionnées, vérification qui s'étend même sur les nombres H™;"',;^, vu que la relation entre les tj et les ;-, ainsi que celle qui lie les if aux y, dépendent des entiers «i , n et l.
En appi'éciant le profit qu'entraîne l'usage des ti-anscendantes tj et C, on reconnaîti-a facilement qu'il réside en ce que les formules que nous venons de mettre en évidence sont composées de termes dont le nombre est diminué, d'une unité, les comparant aux expressions des n°^ 20 et 21.
24. La forme sous laquelle s'expriment, le plus avantageusement, les P et les P', ainsi que les Q et les Q', est celle que nous avons employée, dans les n"' 15 et 17, jjour représenter les îi et les }'. C'est parce que les coefficients qui entrent dans les formules mentionnées, formant des po- Ivnômes en les )9, ne dépendent plus de l'indice n. En revanche, si l'on voulait considérer un tel pol3'nôme comme le commencement d'un développement infini, les premiers termes constitués par le polynôme en les S présenteraient une convergence moins rapide que celle que montrent les termes du polynôme correspondant en les ;- ou en les 3y ou en les C- On en conclut que, bien que l'emploi des transcendantes â soit généralement à préférer devant l'usage des transcendantes ;-, il peut se présenter des cas où l'on fera mieux de mettre au profit les formules dépendant des ;- ou des rj ou des C C'est surtout c^uand le nombre s + s' -f 2y -j- 2v' est assez petit et le nombre n, assez grand, ou bien, quand la convergence des transcendantes ;-j est très rapide, que l'emploi des polynômes en les
120 Traité des Orbites des Planètes.
transeendantes ;- (ou en les Tj ou ^) doit être préféré. Voilà aussi rme raison pourquoi je n"ai pas donné les polynômes en les ;■ que relatiTemeni aux valeurs de s + s' + 2> + 2v' ne surpassant pas 3 .
Les polynômes exprimés en les transcendantes ê, dont il s'agit maintenant, s'obtiennent aisément en vertu des formules (22), (24), (48) et (49) du chapitre III du troisième livre. H ne faut qu'y substituer les expressions des /'" (w , s , s')^y que nous venons de trouver aux n'* 15 et 17.
Voici les résultats qu'on a obtenu de la sorte
P(«,o,2)„.„ = - bff,'"— 2UT— 24«9r,
!*(«, 1,2)0.0= iSr^r'-h i64»5r'+ 336*r+ iQ-'^r,
I*(«,o,3)o,„=— 2êl'"— 36#"— 96*s'"— Mr,
p (« , 4 , 0)0.0 = — 3o,rr — 2 2o//r— 5 1 o.î'r'— 48o,yr — 1 60,5^-",
l*(»^ 3 , 1)0.0 = 6o*J-"+ 58oir5i^"+i6o8d:-"+ i728,r/'+ bAO&l\
P(« , 2 , 2)0.0 = — 36*î'"— j.Bé'»'"— 1836*2'"— 2304*r— 960*^",
1^(W, 1,3)0.0= 6*î'"+ 188*»'"+ SSS^y^'-f 1344*4"+ 640*°'",
P(w, 0,4)0.0= — 2odJ'"— i5o,5S-"— 288di'"— '60*»'",
P(«,5,o)„.o= 42*?'"+ 420*^+1386*^+ 2064*r'+ I440*r+ 384*^, P(«,4, i)o.o = — 90*î'"— 1220*»-"— 4890*»-"— 8400*^'"— 6560*^—1 920»y2'", !'(«, 3, 2)0.0 = 6o*î'''+ i28o*;-"+6564*r'+i3344*r+ii840*»"+3840*^,
l'in, 1 P(w , o
Vin , o
Vin, a Vin , o
Vin,i
4jo,o = 5Jo.u ^^^
— i2*î-"— 576*2''' — 4« >6*'^'"— 10272*:-"— io56o*2'"—3840#2''', iood2'"+ii70*r+ 3792*4'"+ 4640*r+i920*2-",
lO.n
Vin,
Vin,
Vin ,
Vin,
Oi.» = -
Vin
Vin,
>8*'?'''+ 64*»'"+ 48*r, i8*ï'"— rM^a'"— 48*^,
