I2 + 40)VV

P(«, I , 2)0.0= aP'(«, 2, 1)0.0

= -^7i'"-(«' + -'« + 0'jl'"-(4^» + 8)^;'"-8^'-",

P(h,0,0),.„=— (»-f l)^i'"-25yî-",

P(» , I , o),.o = («' + 2W + i)r,r + (4'« + S)3jl-" + 8, P(«, o, i),.o = -{m' + 2» +.))?;■" — (4« + 8),l- — 8,i-",

Quand l'indice m a une valeur surpassant zéro, les coefficients P'" et P"" ne s'expriment pas au moyen des rj seuls, mais bien par les 7y et les ;-. Néanmoins, la complication des expressions résultant des formules (32) et (32') n'augmentera guère, vu que les sommes de la forme

r"(«,s,s').y + '«^'"'(«.S.s'Xy

118 Traité des Orbites des Planètes.

s'exprimeront de la manière suivante:

(«)«(5?r+'-" + >»ro"'^''") + {n\{7^l""-'-'- + mri"'^''") + ...,

{'Oo ) (*0i I • • • étant des polynômes en n.

V^oici maintenant les expressions dont il s'agit: elles peuvent être utiles quelquefois; mais puisque l'application en sera assez restreinte, il suffira de n'en communiquer que les premières.

aP>

ctP' ccP' otP'

o),,o = {» + 2){r^r' + ri-") + 2 [riY + rri

i)o.o = -(« + 2){r^" + rin-^iyil" + ri-"),

o)o.o = - "'^^;"^' (^r + rin -{2n + 7)(,^" + r^") - 4 (^^" + rn

i)o.o= (»' + 4"+4)(^r + ro'") + {4«+i-')(r;f" + ri'") + 8(#" + r:n,

-jy.o —

etc.

(^r- + rr) - (^« + 5)(7Î-" + ri'") -4(rir+ri"),

Deux remarques s'ajoutent aux expressions que nous venons de donner: 1°. Quand on remplace, dans les formules mentionnées, les T^f"^^'"

par les Cl"'"^''", les P"'(w , s, s')(,.o se changent en ccP""(w , s, s')o.o, en sorte

que nous am-ons:

aP'(w, o, o)o.„

aP'(», i,oV„= {■n+i):l'-' + 2:\-", etc.

Mais si les indices v et v' ne sont pas égaux à zéro, les relations entre les P et les P' sont moins simples. Il convient alors de chercher ceux-ci par une voie directe, ce qui nous conduù-a aux expressions que voici:

aP'(«,o,o),.„ = — «s^,V"