ry/(P— p

OU simplement

np-P)-J-.

Frottement des roues sur les rails. — La résistance que les rails opposent au mouvement des roues n'est pas de la môme nature que la précédente ; <!'est un frottement de roulement, qui est proportionnel à la pression, inversement proportionnel au rayon de la roue et qui agit tangentiellementàcelte dernière.

Appelons /'le coefficient de ce nouveau frottement, c'est-à-dire le frottement d'une roue d'un mètre de rayon sous une pression égale à l'unité. La pression qui produit le frottement est égale à P ; le parcours du point d'appli-

CHEMINS DE PER, T. II. — 2« édît. 22

cation de cette force étant le même que celui du wagon, son travail, rapporté à l'unité de parcours du wagon, sera

Résistance de fair. — On admet que la résistance opposée par Tair au mouvement d'un corps est proportionnelle au carré de la vitesse et à la projection de la surface de ce corps sur un pian perpendiculaire à la direction du mouvement.

En appelant K un coefficient constant, S la surface de résistance du wagon et V la vitesse, le travail de cette résistance sera égal à

KSV^

Ainsi, dans le cas où un wagon parcourrait une ligne constamment droite et sans déclivités, le travail total à produire pour remorquer ce wagon à la vitesse V aurait pour expression

Mais toutes les lignes présentent des déclivités etdes courbes, dontnous devons tenir compte.

Résistance due aux déclivités, — Supposons que le wagon se meuve sur une ligne faisant avec l'horizontale un angle a (fig. 533).

Le poids P du wagon se décompose en deux forces, dont l'une, P sin a est parallèle à la direction du mouvement et dont l'autre P cos a, est perpendiculaire à cette direction. Si on observe que, sur les chemins de fer, l'angle a ^ ^^ est toujours assez petit pour que son

cosinus puisse être sans erreur sensible considéré comme égala l'unité, on voit que la seconde force se confondra avec P, de sorte que le surcroît de **^* ^ ' résistance dû à Tinclinaison sera sim-

plement égal à P sin a. Cette expression peut elle-môme ôtre remplacée par Ptga, à cause de la petitesse de l'angle a, ce qui revient à confondre la longueur réelle du tracé avec celle de sa protection horizontale, approximation parfaitement permise, dans les limites de pentes usitées sur les chemins de fer. Or, tga n'est autre chose que la pente par mètre, que nous appellerons i; la résistance due à la déclivité sera donc égale à

Pt,

et cette expression représentera également la valeur du travail de cette résistance pendant Tunité de parcours du wagon.

Ce travail est d'ailleurs positif ou négatif, suivant qu'il s'agit d'une rampe ou d'une pente.

Résistance due aux coKrbes, — La présence des courbes dans un tracé donne lieu à deux sortes de résistance, celle qui est produite parla solidarité des roues et celle qui résulte du parallélisme des essieux. Il y en a même une troisième, qui est due à la force centrifuge ; mais on la considère habituellement comme détruite par le surhaussement du rail extérieur, bien que ce ne soit exact qu'à la vitesse en vue de laquelle ce surhaussement est établi. Nous nous bornerons donc à évaluer les deux premières.

La solidarité des roues produit un frottement que nous avons déjà eu occasion de signaler ; en effet, dans les courbes, les deux roues d'un même essieu doivent parcourir des chemins d'inégale longueur, la file extérieure des rails ayant un développement plus grand que la file intérieure. Comme les roues tournent ensemble et qu'elles ont le même diamètre, il faut nécessairement, pour qu'elles avancent de quantités inégales, que la différence des parcours soit rachetée par un glissement de l'une ou l'autre roue sur le rail ; il peut môme se faire que les deux roues conjuguées glissent à la fois. Nous supposerons, pour plus de simplicité, le glissement reporté d'un seul côté du wagon. Soit p le rayon de la courbe, mesuré sur l'axe de la voie, et e l'écartement de celle-ci. Pendant que le wagon s'avance de i, la roue du grand rayon parcourt un chemin égal à 1 H — ^ — et celle du petit rayon

1 — . La différence entre ces deux parcours, ou — , représente le

chemin parcouru par le frottement de glissement. Appelons f" le coefficient de ce frottement, qui est autre chose que Vadhérence ; puisque nous avons

supposé que le glissement est reporté sur Tune des deux roues, la pression

P qui produit le frottement sera -:p et son travail

Le calcul qui précède n'est pas complètement exact. Il suppose en effet que les rayons du roulement des deux roues conjuguées sont égaux ; or, c'est ce qui n'a pas lieu en courbe, à cause de la conicité des bandages. La force centrifuge, môme en la supposant à peu près compensée par le surhaussement, rejette le wagon du côté du rail extérieur; la roue, surélevée de ce côté, prend un plus grand rayon de roulement, ce qui permet jusqu'à un certain point aux deux roues conjuguées de parcourir des chemins inégaux sans glissement. Le frottement évalué ci-dessus se trouve donc un peu trop fort. On pourrait sans difficulté tenir compte de la conicité dans le calcul ; mais cela compliquerait la formule sans utilité réelle, attendu qu'en pratique

on se sert, comme nous le verrons plus loin, de formules empiriques, dont les coefficients sont établis de manière à tenir compte des divers éléments de résistance.

Le parallélisme des essieux produit, dans les courbes, un glissement transversal des bandages sur les rails ; il en résulte un frottement dont le coefficient est encore f. Voici comment on peut calculer son travail.

Si le wagon parcourait la circonférence entière de rayon o, il aurait accompli, en revenant à son point de départ, une révolution entière autour de son centre de figure et le point d'application du frottement aurait décrit

une circonférence du rayon égal àW^-iJl , en appelant L la distance entre

les essieux. Il suffit, pour s'en rendre compte, de considérer (fig. 554) le

Fig. 554.

rectangle abcd formé par les points d'appui des roues sur les rails : o étant le centre de figure de ce rectangle, on a

= ^oT+di'=y/q±'.

Donc, pendant que le wagon parcourt l'unité de distance, le chemin parcouru par le point d'application du frottement est égal au rapport

et le travail correspondant est

puisque la pression qui produit ce frottement est P.

En résumé, la résistance due aux courbes se compose de deux termes et s*exprime par

Résistance duc aux obstacles accidentels. — On a l'habitude d'ajouter aux différents éléments que nous venons de calculer un terme destiné à tenir compte des résistances qui peuvent provenir d'obstacles accidentels, comme

des défauts dans la surface des rails, la présence de petits corps étrangers, les frottements dus au mouvement de lacet, etc.

Ces résistances, qu'il n'est pas possible de calculer, sont évidemment proportionnelles au poids du wagon ; on admet qu'elles sont également proportionnelles à la vitesse et on représente leur travail par le terme

K'PV

K' étant un coefficient constant.

Dès lors, le travail total des résistances du wagon se trouve représenté par la formule :

Cette formule représente également l'effort de traction nécessaire pour vaincre ces résistances, puisque le travail a été évalué dans l'hypothèse d'un parcours égal à l'unité de distance.

On peut d'ailleurs la simplifier en remarquant que, pour un train entier le poids p des roues est une fraction à peu près constante du poids total des véhicules.

En effet, le poids d'un essieu monté est à peu près de 1500 kilogrammes; si Ton admet que le poids d'un wagon vide (à marchandises) soit de 4500 kilogrammes, et que ce soit également le poids de son chargement moyen, P serait égal à 9000 kilogrammes. On aurait donc, dans ce cas :

P — p = 7 500 kg. = •4" P-

Si on admet cette approximation, si l'on remplace dans la formule cidessus P—p par cette valeur et qu'on divise ensuite tous les termes par P, on aura finalement pourTexpressiondela résistance ou de l'effort de traction par tonne de train remorqué la formule suivante :

Les quatre premiers termes de cette formule représentent la partie de la résistance qui est indépendante du tracé, celle qu'il faut vaincre d un bout à l'autre du parcours ; c'est la résistance propre du train ; le cinquième terme introduit l'influence des pentes; les deux derniers, celle des courbes.