I-a forimile tie cet article revient à

fxPdx{i —x)i

f.TPd.r{i — x)l + fxidx{i — .r)P

les intégrales étant prises depuis x = a jusqu'à x= b.

Quand «=^ et b = i, on peut changer J'x^dx[i — x f en Jxi'dx{\ — a)?, pourvu qu'on prenne cette dernière depuis j: = o jusqu'à x = ^; car si l'on fait x=i — z, il vient

fxHdx ( 1 — jr ■;/' = — Jz'' dz{\ — z)i,

entre les limites zz={, z = o, et, par conséquent, /j/'ds (i — z)'' ou JxP dx[i — x]i, lorsqu'on renverse les limites, c'est-à-dire qu'on intègre depuis a: = o jusqu'à x = l.

Dans ce cas, le dénominateur de la pi'obabilite indiquée cidessus, devenant la somme des valeurs de la même intégrale fxP dx{i — x:'i, prise d'abord depuis .r = ' jusqu'à x=i, et ensuite depuis x = o jusqu'à .r= \, est la même chose que l'intégrale entière, depuis .r = o jusqu'à .r = i : la probabilité dont il s'agit revient donc à

J'xPd.r{i — .r)î fxPdx{l —a- ^7'

l'intégrale du numérateur étant prise depuis ^ = { jusqu'à .r = I , et celle du dénominateur depuis v = o jusqu'à .r=i. C'est précisément l'expression que donne Laplace, p. 33 du Supplément qu'il vient d'ajouter à sa Théorie analytique ries Probabilités [en 181 7), et qui n'avait pas encore paru lors de la première impression de l'article auquel se ra[)porte ce qui précède.

Sur le u" 1()2, page 261.

i" Pour introduire la continuité dans les erreurs, il faut les représenter par une variable r, ne recevant que des accroissements infiniuK'nt petits. Observant ensuite que, le nombre des erreurs possibles étant infini dans celte supposition, la proba-

DES PnOBAUIl.ITÉS. 3o5

l)ilil(' (le; chacune do ces erreurs doit être infiniment j)elite, on pourra rcxprimer par jrdt, y désij^nant une fonction donnée de t. Cela posé, le polynôme indiqué dans le n" 161 sera remplacé par la somme des valeurs consécutives cpie prend la fonction yx'àl lorsqu'on donne à .r toutes les valeurs comprises depuis t=z — a jusqu'à t=.b, si telles sont les limites assignées aux plus i^randes erreurs |)ossibles, néy;ativement et positivement, ce qui revient à l'intégrale fyx'At, prise entre les mêmes limites par rapport à la variable /, la quantité .r étant d'ailleurs constante et indéterminée.

Si n désigne toujours le nombre des observations, il faudra considérer le développement de la fonction (fyx'dt)", ordonné suivant les puissances de .r, et le terme affecté de .t" donnera la probabilité que z sera l'erreur de la somme des observations.

Si l'on ne veut assigner à cette erreur que des limites r et s, considérant ici la valeur de z comme passant par tous les degrés de grandeur compris entre ces limites, il faudra multiplier par dz la probabilité trouvée et intégrer entre les limites z = r, z = s.

C'est ainsi que Lagrange a traité cette question dans le Mémoire cité p. 258; ses dénominations sont a au lieu de x, X au lieu de t, ce qui donne la formule Jya^dx (p. 225 du Mémoire cité), du développement de laquelle il s'était précédemment occupé.

2° En reprenant ce sujet, dans la T/woric analytique des Probabilités, Laplace a donne aux mêmes calculs une forme trèsélégante. D'abord il a substitué à la quantité x du n° IGO l'ex-

jionentiellc e' , ce qui change une })uissance quelconque

x"' en

mvs\J — I , / .

c = coswcT -h \ 1 sm/rtcj,

et donne, pour le cas où les erreurs, supposées également probables, sont les nombres entiers compris entre — n et H- //,

COS ( nu) -H -f-COSy CT; -+- COSO -I- COSCT +...-f- COSrtCT

-f-y' — i [sin( — nm) -f-...+sin( — cj)H-sino-l-sin ct-+-. ..-f sin/^âr] = 1 + 2COSCT -t- 2 cos2<-r-l-. . .-\- ■! cosrto ;

alors le nombre des observations étant désigné par s, le terme 4'' édition. 20

3o6 TIUriÉ ÉLÉMENTAtRE

inih^pendant de cos ct dans le développement de

; I + ?. ces CT + •-'. ros 9, rr + . . . + ?. eos /? cj ^ '',

et divisé par 'xn-\-i, exprimera la probabilité que la somme des observations est exacte.

Ayant construit des formules pour obtenir par approximation les intégrales des fonctions de grands nombres, Laplace transforme en une intégrale le terme cherché, et voici comment : si Ton effectuait le développement de la puissance indiquée, le résultat pourrait être mis sous la forme

A -f- A' COSd H- A"coS2rT H- ... ;

en le multipliant par dw et rinlégiant, on aurait

Ad + A'sincT + ', A"sin2cj -j-. . . ;

et prenant l'intégrale entre les limites o et tt (ce tt désignant la demi-circonférence), tous les termes s'évanouiraient à l'exception du premier qui donnerait Att : on a donc, entre les limites indiquées,

A = -ydcT(i ~\- 2COSCT -+-... -f- 2 coswct)-*".

Dans le Mémoire que j'ai cité de M. Plana, il pose

( I -I- 2 COSCT -f- . . . -f- 2 cos « ci)-'= (2 n H- I ]•<" e~ ' ' , et détermine ensuite la valeur de drr, ce qui fait dépendre de l'intégrale Jc~ ' i\( la recherche de A.

C'est aussi à la recherche d'un terme indépendant de ct qu'on ramène celle de la probabilité que la somme des erreurs des observations sera égale à une quantité donnée m, probabilité qui est le coefficient de x"' dans le développement de l'expression

Pour cela, il faut observer que ce développement contiendra deux termes affectés, l'un de x~"', l'autre de .r"", et ayant le même coefficient, qui deviendront indépendants de x lorsqu'ils seront multipliés, le premier par .r" et le second par x~"'; ((ue, par conséquent, si l'on multiplie le développement dont il s'agit, d'abord par x'", ensuite par x~"', et qu'on |irenne la moitié de

ni'.s l'iuiitMtii.i lÉs. !iOy

la soiniiH' (les priiiliiits, le li rmi iiKlcpciiihiiil de x dans le résultai sera le terme elierelic Or, celle (i|Mr.ui(iii reviciil ,i midliplier ee même développement par

tu us — 1 , — niu V — i

= := cos m z! :

le terme cherché sera donc relui cpii est indépendant de rr dans le développement de

cos mtj{i -+- 1 cos GT + . . . -4- ?. cos « tt )J ,

et par suite la valeur de l'intégrale

y'd CT cos m CI I I -h y. cos m -\- . . . -\- "y. cos n tt Y ,

prise entre les limites o et tt.

C'est dans l'ouvrage de Laplace qu'il l'aut voir comment cettianalyse s'étend au cas où les erreurs ont toutes les valeurs possibles entre leurs limites avec une probabilité exprimée par luie fonction de ces valeurs. Il entre alors trois intégrations successives dans les formules ; mais ce qui précède suffit pour montrer à quel point ces recherches se compliquent; aussi tiennent-elles beaucoup de place dans la Théorie analytique des Probabilités, où, par des artifices d'analyse très-remarquables, l'auteur est venu à bout, dans les corrections combinées, d'éliminer la probabilité des erreurs qui est inconnue, en supposant seulement qu'elle décroît avec une grande l'apidité à mesure qu'il s'agit d'erreurs plus fortes, ce qui est très-vraisemblable puisque la perfection des instruments et l'habileté des observateurs rendent fort petites les différences entre les diverses déterminations de la même quantité.

3° Enfin la recherche d'un milieu entre les observations et celle des centres de gravité ont une analogie qui ne doit pas être passée sous silence.

Il suit de ce qu'on a vu dans le n° .^i que le plus grand termt> du développement de l'expression

{e iX-^ -\- e,x-* ->r . . . + e„jc''-t-. . .-t-é-iJ^'-h^jX*)" (161)

est celui dans lequel l'exposant n est partagé en parties proportionnelles aux probabilités

3o8 TRAITÉ ÉLÉMENT \IRI-: DES rROBABILlTÉS.

c'est-à-dire que les exposants de chacune de ces lettres son! respectivement

ne; , nc i , . . . . nc\, . . ., ne^, ne^\ celui de x sera, i)ar conséquent,

— «e 5 x; 5 — «e 4 X 4 — ••■"•" '^^0 Xo -J- . . . + 77^4 X4 + «^sXS ; et, comme il exprime l'erreur la plus probable de la somme des observations, l'erreur de la moyenne sera

— ^5 X 5 — fi X 4 — ... -1- ^0 X o+ . . . 4- cj X 4 -T- <'5 X 5, c'est-à-dire la sonuiie des diverses erreurs multipliées respectivement par leur probabilité, ce qui exprime aussi la valeur moyenne des erreurs. Mais si l'on représente par a, h, c,..., le nombre des cas qui amènent chaque erreur et que les grandeurs de celles-ci soient p, r/, r, . . . , on aura pour l'erreur moyenne

on b(i cr

ap -\- bq -h cr-

an sorte que si, comme l'a remarqué Lagrange, on prend sur une droite, à partir de l'une de ses extrémités, des intervalles p, <7, /•,..., à chacun desquels on suspende les poids «r, h, c,..,, la valeur movenne donnera la position dti centre de gravite de ces poids.

Si l'on suppose que les observations soient susceptibles de toutes les erreurs possibles entre des limites données et que la loi des probabilités de ces erreurs soit connue, on portera sur une ligne droite, prise pour axe, des abscisses qui marqueront les erreurs, on élèvera des ordonnées proportionnelles à leur probabilité, et l'abscisse du centre de gravité du segment de cette courbe compris entre les limites données sera l'erreur moyenne ou la correction du milieu. Elle sera nulle si, la courbe étant symétrique pour les abscisses positives et négatives, le centre de gravite tombe sur Taxe des ordonnées. Ceci est tnlièrement semblable à ce qu'on a vu p. 3oi pour la détermination de l'âge moyen dans une population.